題型一：利用導數研究函式的極值、最值。
1． 在區間上的最大值是 2
2．已知函式處有極大值，則常數c＝ 6 ；
3．函式有極小值 －1 ,極大值 3
題型二：利用導數幾何意義求切線方程
1．曲線在點處的切線方程是
2．若曲線在p點處的切線平行於直線，則p點的座標為 （1，0
3．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為
4．求下列直線的方程：
（1）曲線在p(-1,1)處的切線； （2）曲線過點p(3,5)的切線；
解：（1）
所以切線方程為
（2）顯然點p（3，5）不在曲線上，所以可設切點為，則①又函式的導數為，
所以過點的切線的斜率為，又切線過、p(3,5)點，所以有②，由①②聯立方程組得，，即切點為（1，1）時，切線斜率為；當切點為（5，25）時，切線斜率為；所以所求的切線有兩條，方程分別為
題型三：利用導數研究函式的單調性，極值、最值
1．已知函式的切線方程為y=3x+1
（ⅰ）若函式處有極值，求的表示式；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求函式在[－3，1]上的最大值；
（ⅲ）若函式在區間[－2，1]上單調遞增，求實數b的取值範圍
解：（1）由
過的切線方程為： 而過
故∵ ③
由①②③得 a=2，b=－4，c=5
（2）當
又在[－3，1]上最大值是13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上單調遞增，又由①知2a+b=0。
依題意在[－2，1]上恒有≥0，即
①當；②當；
③當綜上所述，引數b的取值範圍是
2．已知三次函式在和時取極值，且．
(1) 求函式的表示式；
(2) 求函式的單調區間和極值；
(3) 若函式在區間上的值域為，試求、應滿足的條件．
解：(1
由題意得，是的兩個根，解得，．
再由可得
(2) ，
當時，；當時，；
當時，；當時，；
當時，．∴函式在區間上是增函式；
在區間上是減函式；在區間上是增函式．
函式的極大值是，極小值是
(3) 函式的圖象是由的圖象向右平移個單位，向上平移4個單位得到的，
所以，函式在區間上的值域為（）．
而，∴，即
於是，函式在區間上的值域為．
令得或．由的單調性知，，即．
綜上所述，、應滿足的條件是：，且
3．設函式．
（1）若的圖象與直線相切，切點橫座標為２，且在處取極值，求實數的值；
（2）當b=1時，試證明：不論a取何實數，函式總有兩個不同的極值點．
解：（1）
由題意，代入上式，解之得：a=1，b=1．
（2）當b=1時，
因故方程有兩個不同實根．
不妨設，由可判斷的符號如下：
當＞０；當＜０；當＞０
因此是極大值點，是極小值點．，當b=1時，不論a取何實數，函式總有兩個不同的極值點。
題型四：利用導數研究函式的圖象
1．如右圖：是f（x）的導函式， 的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（ d ）
（abcd）
2．函式( a )
3．方程b )
a、0b、1c、2d、3
題型五：利用單調性、極值、最值情況，求引數取值範圍
1．設函式
（1）求函式的單調區間、極值.
（2）若當時，恒有，試確定a的取值範圍.
解：（1）=，令得
列表如下：
∴在（a，3a）上單調遞增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上單調遞減
時，，時
（2）∵，∴對稱軸，
∴在[a+1，a+2]上單調遞減
∴，依題， 即
解得，又 ∴a的取值範圍是
2．已知函式f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值（1）求a、b的值與函式f（x）的單調區間
（2）若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恆成立，求c的取值範圍。
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函式f（x）的單調區間如下表：
所以函式f（x）的遞增區間是（－，－）與（1，＋），遞減區間是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當x＝－時，f（x）＝＋c
為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恆成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2
題型六：利用導數研究方程的根
1．已知平面向量=(,－1). =(,).
（1）若存在不同時為零的實數k和t，使=+(t2－3)，=-k+t，⊥，
試求函式關係式k=f(t) ；
(2) 據(1)的結論，討論關於t的方程f(t)－k=0的解的情況.
解：(1)∵⊥，∴=0 即[+(t2-3) ]·(-k+t)=0.
整理後得-k+[t-k(t2-3)] + (t2-3)·=0
∵=0，=4，=1，∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)
(2)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= t(t2-3)與直線y=k的交點個數.
於是f′(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f′(t)、f(t)的變化情況如下表：
當t=－1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=.
當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=－
函式f(t)=t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示，
可觀察出：
(1)當k＞或k＜－時,方程f(t)－k=0有且只有一解；
(2)當k=或k=－時,方程f(t)－k=0有兩解；
(3) 當－＜k＜時,方程f(t)－k=0有三解.
題型七：導數與不等式的綜合
1．設在上是單調函式.
（1）求實數的取值範圍；
（2）設≥1，≥1，且，求證：.
解：（1） 若在上是單調遞減函式，則須這樣的實數a不存在.故在上不可能是單調遞減函式.
若在上是單調遞增函式，則≤，
由於.從而0（2）方法1、可知在上只能為單調增函式. 若1≤，則若1≤矛盾，故只有成立.
方法2：設，兩式相減得 ≥1,u≥1，
，2．已知為實數，函式
（1）若函式的圖象上有與軸平行的切線，求的取值範圍
（2）若，（ⅰ）求函式的單調區間
（ⅱ）證明對任意的，不等式恆成立
解：， 函式的圖象有與軸平行的切線，有實數解
，，所以的取值範圍是
，，，由或；由
的單調遞增區間是；單調減區間為
易知的最大值為，的極小值為，又
在上的最大值，最小值
對任意，恒有
統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（公升）關於行駛速度（千公尺/小時）的函式解析式可以表示為：
已知甲、乙兩地相距100千公尺。
（i）當汽車以40千公尺/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少公升？
（ii）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少公升？
解：（i）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，
要耗沒（公升）。
（ii）當速度為千公尺/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為公升，
依題意得
令得當時，是減函式；
當時，是增函式。
當時，取到極小值
因為在上只有乙個極值，所以它是最小值。
答：當汽車以40千公尺/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5公升。當汽車以80千公尺/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25公升。
題型九：導數與向量的結合
1．設平面向量若存在不同時為零的兩個實數s、t及實數k，使
（1）求函式關係式；
（2）若函式在上是單調函式，求k的取值範圍。
解：（1）
（2）則在上有
由；由。
因為在t∈上是增函式，所以不存在k，使在上恆成立。故k的取值範圍是。
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