請同學們高度重視：
首先，關於二次函式的不等式恆成立的主要解法：
1、分離變數；2變更主元；3根分布；4判別式法
5、二次函式區間最值求法：（1）對稱軸（重視單調區間）
與定義域的關係2）端點處和頂點是最值所在
其次，分析每種題型的本質，你會發現大部分都在解決「不等式恆成立問題」以及「充分應用數形結合思想」，建立不等關係求出取值範圍。
最後，同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎
一、基礎題型：函式的單調區間、極值、最值；不等式恆成立；
1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：
第一步：令得到兩個根；
第二步：畫兩圖或列表；
第三步：由圖表可知；
其中不等式恆成立問題的實質是函式的最值問題，
2、常見處理方法有三種：
第一種：分離變數求最值-----用分離變數時要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0）
第二種：變更主元（即關於某字母的一次函式）-----（已知誰的範圍就把誰作為主元）；
（請同學們參看2010省統測2）
例1：設函式在區間d上的導數為，在區間d上的導數為，若在區間d上，恆成立，則稱函式在區間d上為「凸函式」，已知實數m是常數，
（1）若在區間上為「凸函式」，求m的取值範圍；
（2）若對滿足的任何乙個實數，函式在區間上都為「凸函式」，求的最大值.
解:由函式得
（1）在區間上為「凸函式」，
則在區間[0,3]上恆成立
解法一：從二次函式的區間最值入手：等價於
解法二：分離變數法：
∵ 當時,恆成立,
當時,恆成立
等價於的最大值（）恆成立，
而（）是增函式，則
(2)∵當時在區間上都為「凸函式」
則等價於當時恆成立
變更主元法
再等價於在恆成立（視為關於m的一次函式最值問題）
請同學們參看2010第三次周考：
例2：設函式
（ⅰ）求函式f（x）的單調區間和極值；
（ⅱ）若對任意的不等式恆成立，求a的取值範圍.
（二次函式區間最值的例子）
解：（ⅰ）
令得的單調遞增區間為（a,3a）
令得的單調遞減區間為（－，a）和（3a，+）
∴當x=a時，極小值= 當x=3a時，極大值=b.
（ⅱ）由||≤a，得：對任意的恆成立①
則等價於這個二次函式的對稱軸 （放縮法）
即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函式的最值問題：單調增函式的最值問題。
上是增函式. （9分）
∴於是，對任意，不等式①恆成立，等價於
又∴點評：重視二次函式區間最值求法：對稱軸（重視單調區間）與定義域的關係
第三種：建構函式求最值
題型特徵：恆成立恆成立；從而轉化為第
一、二種題型
例3；已知函式圖象上一點處的切線斜率為，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）當時，求的值域；
（ⅲ）當時，不等式恆成立，求實數t的取值範圍。
解：（ⅰ）∴， 解得
（ⅱ）由（ⅰ）知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減
又∴的值域是
（ⅲ）令
思路1：要使恆成立，只需，即分離變數
思路2：二次函式區間最值
二、題型一：已知函式在某個區間上的單調性求引數的範圍
解法1：轉化為在給定區間上恆成立， 回歸基礎題型
解法2：利用子區間（即子集思想）；首先求出函式的單調增或減區間，然後讓所給區間是求的增或減區間的子集；
做題時一定要看清楚「在（m,n）上是減函式」與「函式的單調減區間是（a,b）」，要弄清楚兩句話的區別：前者是後者的子集
例4：已知，函式．
（ⅰ）如果函式是偶函式，求的極大值和極小值；
（ⅱ）如果函式是上的單調函式，求的取值範圍．
解 （ⅰ）∵是偶函式，∴. 此時，，
令，解得
列表如下：
可知：的極大值為的極小值為
函式是上的單調函式，
∴，在給定區間r上恆成立判別式法
則解得 綜上，的取值範圍是
例5、已知函式
（i）求的單調區間；
（ii）若在[0，1]上單調遞增，求a的取值範圍。子集思想
（i） 1、
當且僅當時取「=」號，單調遞增。
2、單調增區間：
單調增區間：
（ii）當則是上述增區間的子集：
1、時，單調遞增符合題意
2、，綜上，a的取值範圍是[0，1]。
三、題型二：根的個數問題
題1函式f(x)與g(x)（或與x軸）的交點*****=即方程根的個數問題
解題步驟
第一步：畫出兩個影象即「穿線圖」（即解導數不等式）和「趨勢圖」即三次函式的大致趨勢「是先增後減再增」還是「先減後增再減」；
第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關係；
第三步：解不等式（組）即可；
例6、已知函式，，且在區間上為增函式．
（1） 求實數的取值範圍；
（2） 若函式與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值範圍．
解：（1）由題意∵在區間上為增函式，
∴在區間上恆成立（分離變數法）
即恆成立，又，∴，故∴的取值範圍為
（2）設，
令得或由（1）知，
①當時，，在r上遞增，顯然不合題意…
②當時，，隨的變化情況如下表：
由於，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即∴，解得
綜上，所求的取值範圍為
根的個數知道，部分根可求或已知。
例7、已知函式
（1）若是的極值點且的影象過原點，求的極值；
（2）若，在（1）的條件下，是否存在實數，使得函式的影象與函式的影象恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數的取值範圍；否則說明理由。高1考1資1源2網
解：（1）∵的影象過原點，則 ，
又∵是的極值點，則
（2）設函式的影象與函式的影象恆存在含的三個不同交點，
等價於有含的三個根，即：
整理得：
即：恒有含的三個不等實根
（計算難點來了：）有含的根，
則必可分解為，故用添項配湊法因式分解，
十字相乘法分解：
恒有含的三個不等實根
等價於有兩個不等於-1的不等實根。
題2：切線的條數問題====以切點為未知數的方程的根的個數
例7、已知函式在點處取得極小值－4，使其導數的的取值範圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值範圍．
（1）由題意得：
∴在上；在上；在上
因此在處取得極小值
∴①，②，③
由①②③聯立得：，∴
（2）設切點q， 過令，
求得：，方程有三個根。
需： 故：；因此所求實數的範圍為：
題3：已知在給定區間上的極值點個數則有導函式=0的根的個數
解法：根分布或判別式法
例8、解：函式的定義域為（ⅰ）當m＝4時，f (x)＝ x3－x2＋10x，
＝x2－7x＋10，令， 解得或.
令， 解得
可知函式f(x)的單調遞增區間為和（5，＋∞），單調遞減區間為．
（ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6,
要使函式y＝f (x)在（1，＋∞）有兩個極值點,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布問題：
則， 解得m＞3
例9、已知函式，（1）求的單調區間；（2）令＝x4＋f（x）（x∈r）有且僅有3個極值點，求a的取值範圍．
解：（1）
當時，令解得，令解得，
所以的遞增區間為，遞減區間為.
當時，同理可得的遞增區間為，遞減區間為.
（2）有且僅有3個極值點
=0有3個根，則或，
方程有兩個非零實根，所以
或而當或時可證函式有且僅有3個極值點
其它例題：
1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在上的函式在區間上的最大值是5，最小值是－11.
（ⅰ）求函式的解析式；
（ⅱ）若時，恆成立，求實數的取值範圍.
解：（ⅰ）
令=0,得
因為，所以可得下表：
因此必為最大值,∴因此，，
即（ⅱ）∵，∴等價於，
令，則問題就是在上恆成立時，求實數的取值範圍，
為此只需，即，
解得，所以所求實數的取值範圍是[0，1].
2、（根分布與線性規劃例子）
（1）已知函式
(ⅰ) 若函式在時有極值且在函式圖象上的點處的切線與直線平行, 求的解析式；
(ⅱ) 當在取得極大值且在取得極小值時, 設點所在平面區域為s, 經過原點的直線l將s分為面積比為1:3的兩部分, 求直線l的方程.
解： (ⅰ). 由, 函式在時有極值 ,
又∵在處的切線與直線平行,
∴ 故
7分 (ⅱ) 解法一: 由及在取得極大值且在取得極小值,
即令, 則
∴ ∴ 故點所在平面區域s為如圖△abc,
易得同時de為△abc的中位線,
∴ 所求一條直線l的方程為
導數各種題型方法總結
一 基礎題型 函式的單調區間 極值 最值 不等式恆成立 1 此類問題提倡按以下三個步驟進行解決 第一步 令得到兩個根 第二步 畫兩圖或列表 第三步 由圖表可知 其中不等式恆成立問題的實質是函式的最值問題，2 常見處理方法有三種 第一種 分離變數求最值 用分離變數時要特別注意是否需分類討論 0,0,0...
導數各種題型方法總結
首先，關於二次函式的不等式恆成立的主要解法 1 分離變數 2變更主元 3根分布 4判別式法 5 二次函式區間最值求法 1 對稱軸 重視單調區間 與定義域的關係2 端點處和頂點是最值所在 其次，分析每種題型的本質，你會發現大部分都在解決 不等式恆成立問題 以及 充分應用數形結合思想 建立不等關係求出取...
導數題型總結
題型一 利用導函式解析式求原函式解析式 例1 已知多項式函式的導數，且，求 例2 已知多項式函式為奇函式，求 例3 已知函式為偶函式，它的圖象過點，且在處的切線方程為，求 題型二 求切線問題 例1 已知曲線方程為，則在點處切線的斜率為 切線的傾斜角為 例2 求曲線在原點處的切線方程 切線斜率不存在所...