2023年10月03日157****5865的高中數學組卷
一．選擇題（共18小題）
1．設曲線y＝a（x﹣1）﹣lnx在點（1，0）處的切線方程為y＝3x﹣3，則a＝（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
2．定義在r上的函式f（x）滿足f′（x）＞2，且f（1）＝3，則不等式f（x）＞2x+1的解集為（ ）
a．（﹣∞，0） b．（0，+∞） c．（1，+∞） d．（﹣∞，1）
3．已知函式f（x）的導函式f′（x）滿足（x+xlnx）f′（x）＜f（x）對恆成立，則下列不等式中一定成立的是（ ）
a．2f（1）＞f（e） b．e2f（1）＞f（e）
c．2f（1）＜f（e） d．ef（1）＜f（e）
4．已知函式f（x）＝x2﹣3x+5，g（x）＝ax﹣lnx，若對x∈（0，e），x1，x2∈（0，e）且x1≠x2，使得f（x）＝g（xi）（i＝1，2），則實數a的取值範圍是（ ）
a． b．
c． d．
5．已知函式f（x）＝ex﹣ax﹣1在區間（﹣1，1）內存在極值點，且f（x）＜0恰好有唯一整數解，則a的取值範圍是（其中e為自然對數的底數，e＝2.71828…）（ ）
a．[，e）
b．[，1）∪（e﹣1，]
c．（e﹣1，e）
d．[，）∪（e﹣1，e）
6．已知函式有兩個極值點，則實數m的取值範圍為（ ）
a． b． c． d．（0，+∞）
7．已知函式f（x）＝x2+2alnx+3，若x1，x2∈[4，+∞）（x1≠x2），a∈[2，3]，＜2m，則m的取值範圍是（ ）
a．[﹣2，+∞） b． c． d．
8．若函式f（x）＝ex﹣ax2在區間（0，+∞）上有兩個極值點x1，x2（0＜x1＜x2），則實數a的取值範圍是（ ）
a．a b．a＞e c．a≤e d．a
9．設函式f（x）是定義在（﹣∞，0）上的可導函式，其導函式為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，則不等式（x+2019）2f（x+2019）﹣4f（﹣2）＜0的解集為（ ）
a．（﹣2019，﹣2017） b．（﹣2019，﹣2018）
c．（﹣2021，﹣2019） d．（﹣2020，﹣2019）
10．若曲線y＝ex在x＝0處的切線，也是y＝lnx+b的切線，則b＝（ ）
a．﹣1 b．1 c．2 d．e
11．若函式f（x）＝x2+（a﹣1）x﹣alnx存在唯一的極值，且此極值不小於1，則a的取值範圍為（ ）
a．[，2） b
c．[0，） d．（﹣1，0）∪[，+∞）
12．若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，則a的最大值為（ ）
a． b．1 c．e d．2e
13．已知過點a（a，0）作曲線c：y＝xex的切線有且僅有兩條，則實數a的取值範圍是（ ）
a．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） b．（0，+∞）
c．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） d．（﹣∞，﹣1）
14．已知函式f（x）＝2ef′（e）lnx﹣（e是自然對數的底數），則f（x）的極大值為（ ）
a．2e﹣1 b． c．1 d．2ln2
15．已知函式f（x）＝，x∈（0，+∞），當x2＞x1時，不等式＜0恆成立，則實數a的取值範圍為（ ）
a．（﹣∞，e] b．（﹣∞，e） c． d．
16．已知函式f（x）＝ex﹣1+e1﹣x，則滿足f（x﹣1）＜e+e﹣1的x的取值範圍是（ ）
a．1＜x＜3 b．0＜x＜2 c．0＜x＜e d．1＜x＜e
17．已知函式，若x＝2是函式f（x）的唯一極值點，則實數k的取值範圍是（ ）
a． b． c．（0，2] d．[2，+∞）
18．已知f′（x）是函式f（x）的導函式，且對任意的實數x都有f′（x）＝ex（2x+3）+f（x）（e是自然對數的底數），f（0）＝1，若不等式f（x）﹣k＜0的解集中恰有兩個整數，則實數k的取值範圍是（ ）
a．[﹣，0） b．[﹣，0] c．（﹣，0] d．（﹣，0）
二．填空題（共12小題）
19．設函式f（x）＝lnx++2a，x∈[，a]，若函式f（x）的極小值不大於+2，則a的取值範圍為
20．若函式f（x）＝ex﹣ax2有極值點，則a的取值範圍是 ．
21．已知曲線f（x）＝x3在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為α，則的值為 ．
22．已知函式g（x）＝a﹣x2（≤x≤e，e為自然對數的底數）與h（x）＝2lnx的圖象上存在關於x軸對稱的點，則實數a的取值範圍是 ．
23．已知定義在實數集r的函式f（x）滿足f（1）＝4且f（x）導函式f′（x）＜3，則不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集為 ．
24．已知f（x）＝ax3+3x2﹣1存在唯一的零點x0，且x0＜0，則實數a的取值範圍是 ．
25．已知函式f（x）＝x+sinx（x∈r），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，則當y≥1時，的取值範圍是 ．
26．已知函式f（x）＝ax+x2﹣xlna，對任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恆成立，則實數a的取值範圍為 ．
27．已知f（x）＝sinx+2x，x∈r，且f（1﹣a）+f（2a）＜0，則a的取值範圍是 ．
28．設函式f（x）＝ax2+b（a≠0），若，則x0＝ ．
29．已知函式f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不單調，則t的取值範圍是 ．
30．已知函式f（x）＝，設a∈r，若關於x的不等式在r上恆成立，則a的取值範圍是
三．解答題（共10小題）
31．已知函式．
（1）求函式f（x）的單調區間；
（2）若存在成立，求整數a的最小值．
32．已知函式f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣1．
（1）當k為何值時，直線y＝g（x）是曲線y＝kf（x）的切線；
（2）若不等式在[1，e]上恆成立，求a的取值範圍．
33．已知函式f（x）＝x3+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若函式g（x）＝f（x）﹣xlnx在上有零點，求a的取值範圍．
34．設函式．
（1）當m＝﹣1時，求函式f（x）＝f（x）+g（x）的零點個數
（2）若x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜g（x0），求實數m的取值範圍．
35．已知a∈r，函式f（x）＝（﹣x2+ax）ex（x∈r）．
（1）當a＝2時，求函式f（x）在[0，2]上的最值；
（2）若函式f（x）在（﹣1，1）上單調遞增，求a的取值範圍．
36．已知函式f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（i）當a＝4時，求曲線y＝f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（ii）若當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0，求a的取值範圍．
37．已知函式f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值範圍．
38．已知函式f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．
（ⅰ）討論f（x）的單調性；
（ⅱ）若f（x）有兩個零點，求a的取值範圍．
39．設函式f（x）＝emx+x2﹣mx．
（1）證明：f（x）在（﹣∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增；
（2）若對於任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值範圍．
40．設函式f（x）＝（1﹣x2）ex．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值範圍．
2023年10月03日157****5865的高中數學組卷
參***與試題解析
一．選擇題（共18小題）
1．設曲線y＝a（x﹣1）﹣lnx在點（1，0）處的切線方程為y＝3x﹣3，則a＝（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
【分析】求出函式的導數，得到切線的斜率，以及已知條件列出方程求解即可．
【解答】解：因為，且在點（1，0）處的切線的斜率為3，所以a﹣1＝3，即a＝4．
故選：d．
【點評】本題考查導數的幾何意義，考查運算求解能力．
2．定義在r上的函式f（x）滿足f′（x）＞2，且f（1）＝3，則不等式f（x）＞2x+1的解集為（ ）
a．（﹣∞，0） b．（0，+∞） c．（1，+∞） d．（﹣∞，1）
【分析】根據題意，設g（x）＝f（x）﹣2x﹣1，求出其導數，分析可得g′（x）＞0，則g（x）在r上為增函式，又由f（1）＝3，則g（1）＝0，f（x）＞2x+1f（x）﹣2x﹣1＞0g（x）＞g（1），結合函式的單調性分析可得答案．
【解答】解：根據題意，設g（x）＝f（x）﹣2x﹣1，則g′（x）＝f′（x）﹣2，
又由f′（x）＞2，則g′（x）＞0，則g（x）在r上為增函式，
又由f（1）＝3，則g（1）＝f（1）﹣2﹣1＝0，
則f（x）＞2x+1f（x）﹣2x﹣1＞0g（x）＞g（1），分析可得x＞1，
即不等式f（x）＞2x+1的解集為（1，+∞）；
故選：c．
【點評】本題考查利用導數分析函式的單調性，注意構造新函式，屬於綜合題．
3．已知函式f（x）的導函式f′（x）滿足（x+xlnx）f′（x）＜f（x）對恆成立，則下列不等式中一定成立的是（ ）
a．2f（1）＞f（e） b．e2f（1）＞f（e）
c．2f（1）＜f（e） d．ef（1）＜f（e）
【分析】令，可得＜0．可得g（x）在（，+∞）遞減，即可求解．
【解答】解：由（x+xlnx）f′（x）＜f（x），x∈（，+∞），
得（1+lnx）f′（x）﹣f（x）＜0，
令，則＜0．
∴故g（x）在（，+∞）遞減；
∴g（e）＜g（1），即f（e）＜2f（1）．
故選：a．
【點評】本題考查了利用導數研究函式的單調性、方程與不等式的解法、構造法、等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬於難題．
4．已知函式f（x）＝x2﹣3x+5，g（x）＝ax﹣lnx，若對x∈（0，e），x1，x2∈（0，e）且x1≠x2，使得f（x）＝g（xi）（i＝1，2），則實數a的取值範圍是（ ）
a． b．
c． d．
【分析】對x∈（0，e），f（x）的值域為[，5），g′（x）＝a﹣＝，推導出a＞0，g（x）min＝g（）＝1+lna，作出函式g（x）在（0，e）上的大致圖象，數形結合由求出實數a的取值範圍．
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