解析幾何（二）
1、（12年嘉定區二模22題）
已知定點，直線，點為座標平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為點，且．設動點的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）過點的直線與曲線有兩個不同的交點、，求證：；
（3）記與的夾角為（為座標原點，、為（2）中的兩點），求的取值範圍．
【解答】：（1）設點的座標為1分）
由題意，可得，，，．（3分）
由與垂直，得，即（）． （6分）
因此，所求曲線的方程為（）．
[證明]（2）因為過點的直線與曲線有兩個不同的交點、，所以的斜率不為零，故設直線的方程為7分）
於是、的座標、為方程組的實數解．
消並整理得8分）
於是進一步得10分）
又因為曲線（）的準線為，
所以，得證． （12分）
（3）由（2）可知，，．
於是，（16分）可求得的取值範圍為18分）
2、（12嘉定區三模）
如圖，已知橢圓的左右焦點分別為、，橢圓的下頂點為，點是橢圓上任意一點，圓是以為直徑的圓．
（1）若圓過原點，求圓的方程；
（2）當圓的面積為時，求所在直線的方程；
（3）寫出乙個定圓的方程，使得無論點在橢圓的什
麼位置，該定圓總與圓相切．請寫出你的**過程．
【解答】：（1）解法一：因為圓過原點，所以，所以是橢圓的端軸頂點，的座標是或，於是點的座標為或， …………（2分）
圓的方程為或． ……（4分）
解法二：設，因為圓過原點，所以，
所以，所以，，點1分）
於是點的座標為或2分）
圓的方程為或． ……（4分）
（少乙個解釦1分）
（2）設圓的半徑為，由題意，，，所以 …（5分）
設，則6分）
聯立 ，解得（捨去7分）
所以點或8分）
所以或9分）
所以直線的方程為或10分）
注：直線方程也可寫成其他形式，如：與等．
少乙個解，得4分．
（3）以原點為圓心，為半徑的定圓始終與圓相內切．
定圓的方程為12分）
**過程為：設圓的半徑為，定圓的半徑為，
因為，所以當原點為定圓圓心，半徑時，定圓始終與圓相內切16分）
3、（12年靜安等四區二模22題）
已知橢圓的右焦點為，點的座標為，
為座標原點，△是等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）設經過點作直線交橢圓於、兩點，求△面積的最大值；
（3）是否存在直線交橢圓於，兩點， 使點為△的垂心（垂心：三角形三
邊高線的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【解答】：（1）由△是等腰直角三角形，得，，
故橢圓方程為4分（2）設直線的方程是與交於 ，
則有，由韋達定理得，
點到直線的距離為，
因為，設，由，知，
由，當且僅當時成立，方程是
10分（3）假設存在直線交橢圓於，兩點，且為△的垂心，
設，因為，，故11分
於是設直線的方程為，
由得．由，得， 且12分
由題意應有，又，
故，得．
即．整理得．
解得或14分
經檢驗，當時，△不存在，故捨去．
當時，所求直線存在，且直線的方程為． …………16分
4、（2013浦東新區二模23題）
（1）設橢圓：與雙曲線：有相同的焦點，是橢圓與雙曲線的公共點，且的周長為，求橢圓的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為「盾圓」.
（3）由拋物線弧：（）與第（1）小題橢圓弧：（）所合成的封閉曲線為「盾圓」.設過點的直線與「盾圓」交於兩點，，且（），試用表示；並求的取值範圍.
【解答】：（1）由的周長為得，
橢圓與雙曲線：有相同的焦點，所以，
即，，橢圓的方程；…………………4分
（3）顯然「盾圓」由兩部分合成，所以按在拋物線弧或橢圓弧上加以分類，由「盾圓」的對稱性，不妨設在軸上方（或軸上）：
當時，，此時11分
當時，在橢圓弧上，
由題設知代入得，
，整理得，
解得或（捨去12分
當時在拋物線弧上，
由方程或定義均可得到，於是，
綜上，（）或（）；
相應地14分
當時在拋物線弧上，在橢圓弧上，
；……………………15分
當時在橢圓弧上，在拋物線弧上，
；……………………16分
當時、在橢圓弧上，
17分綜上的取值範圍是18分
5、(2013徐匯二模23題)
已知雙曲線的中心在原點，是它的乙個頂點， 是它的一條漸近線的乙個方向向量.
(1) 求雙曲線的方程；
(2) 若過點()任意作一條直線與雙曲線交於兩點 (都不同於點)，
求證：為定值；
(3) 對於雙曲線:，為它的右頂點，為雙曲線上的兩點
(都不同於點)，且，那麼直線是否過定點？若是，請求出此定點的座標；
若不是，說明理由.然後在以下三個情形中選擇乙個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）.情形一：雙曲線及它的左頂點；
情形二：拋物線及它的頂點；
情形三：橢圓及它的頂點.
【解答】：(1)設雙曲線c的方程為，則，…….2分
又，得，所以，雙曲線c的方程為4分
(2) 當直線垂直於軸時，其方程為，的座標為(,)、(,)，
，得=06分
當直線不與軸垂直時，設此直線方程為，由得
.設，則,，……………..8分
故.……....9分
＋＋=0 . 綜上， =0為定值. ………………10分
(3)當滿足時，取關於軸的對稱點、，由對稱性知，此時與所在直線關於軸對稱，若直線過定點，則定點必在軸上11分
設直線的方程為：，
由，得 設，則,，
由，得，，
即，， 化簡得，或(舍13分
所以，直線過定點(,014分
情形一：在雙曲線 ：中，若為它的左頂點，為雙曲線上的兩點(都不同於點)，且，則直線過定點(,0). …….15分
情形二：在拋物線中，若為拋物線上的兩點(都不同於原點)，且，則直線過定點16分
情形三：（1）在橢圓中，若為它的右頂點，為橢圓上的兩點(都不同於點), 且，則直線過定點(,0)；…………..15分
（2）在橢圓中，若為它的左頂點，為橢圓上的兩點(都不同於點)，且，則直線過定點(,0) ；……..16分
（3）在橢圓中，若為它的上頂點，為橢圓上的兩點(都不同於點), 且，則直線過定點(017分
（4）在橢圓中，若為它的下頂點，為橢圓上的兩點(都不同於點), 且，則直線過定點(018分
6、（2013閘北區二模23題）
在平面直角座標系中，已知曲線為到定點的距離與到定直線的距離相等的動點的軌跡，曲線是由曲線繞座標原點按順時針方向旋轉形成的．
（1）求曲線與座標軸的交點座標，以及曲線的方程；
（2）過定點的直線交曲線於、兩點，已知曲線上存在不同的兩點、關於直線對稱．問：弦長是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請說明理由．
【解答】：（1）設，由題意，可知曲線為拋物線，並且有
，化簡，得拋物線的方程為：．
令，得或，
令，得或，
所以，曲線與座標軸的交點座標為和3分）
由題意可知，曲線為拋物線，過焦點與準線垂直的直線過原點，
點到的距離為． （2分）
所以是以為焦點，以為準線的拋物線，其方程為3分）
（2）設，，由題意知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，則直線的方程為1分）
則得，所以2分）
，設弦的中點為，則
因為在直線上，所以
，即將代入，得
（4分）
設，則1分）
建構函式，．
由已知，當，即時，無最大值，所以弦長不存在最大值1分）
當時，有最大值，即弦長有最大值 （1分）
7、（2013長寧二模23題）
如圖，已知點，直線：，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過軌跡的準線與軸的交點作直線與軌跡交於不同兩點、，且線段的垂直平分線與軸的交點為，求的取值範圍；
解析幾何解答題
26.江蘇18 如圖，在平面直角座標系中，m n分別是橢圓的頂點，過座標原點的直線交橢圓於p a兩點，其中p在第一象限，過p作x軸的垂線，垂足為c，連線ac，並延長交橢圓於點b，設直線pa的斜率為k 1 當直線pa平分線段mn，求k的值 2 當k 2時，求點p到直線ab的距離d 3 對任意k 0，求...
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