2023年全國高中數學聯合競賽湖北省預賽試題參***
（高二年級）
說明：評閱試卷時，請依據本評分標準。填空題只設8分和0分兩檔；解答題的評閱，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分。
一、填空題（本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫在橫線上。）
1．函式的值域為．
2．已知，，則．
3．已知數列滿足：為正整數，
如果，則 5 ．
4．設集合，是的子集，且滿足，，那麼滿足條件的子集的個數為 185 ．
5．過原點的直線與橢圓：交於兩點，是橢圓上異於的任一點．若直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為．
6．在△中，，．設是△的內心，若，則的值為．
7．在長方體中，已知，則長方體的體積最大時，為．
8．設表示不超過的最大整數，則 2012 ．
二、解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）
9．已知正項數列滿足且，，求的通項公式．
解在已知等式兩邊同時除以，得，
所以4分
令,則，即數列是以＝4為首項,4為公比的等比數列，所以8分
所以,即12分
於是，當時,
，因此16分
10．已知正實數滿足，且，求的取值範圍．
解令，，則
5分令，則，且10分
於是15分
因為函式在上單調遞減，所以．
又，所以20分
11．已知點為拋物線內一定點，過作斜率分別為的兩條直線交拋物線於，且分別是線段的中點．
（1）當且時，求△的面積的最小值；
（2）若（為常數），證明：直線過定點．
解所在直線的方程為，其中，代入中，得
，設，則有，從而．則．
所在直線的方程為，其中，同理可得．
5分（1）當時，，，，，．
又，故，於是△的面積
，當且僅當時等號成立．
所以，△的面積的最小值為10分
（2），
所在直線的方程為，
即15分
又，即，代入上式，得，
即．當時，有，即為方程的一組解，
所以直線恆過定點20分
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