（1） 證明：ac⊥sb；
（2） 求b-cmn的體積．
（1）證明：取ac中點d，連線sd，db．
因為sa=sc，ab=bc，所以ac⊥sd且ac⊥bd，
因為sd∩bd=d，所以ac⊥平面sdb．
又sb平面sdb，所以ac⊥sb；
（2）解：因為ac⊥平面sdb，ac平面abc，所以平面sdc⊥平面abc．
過n作ne⊥bd於e，則ne⊥平面abc，
因為平面sac⊥平面abc，sd⊥ac，所以sd⊥平面abc．
又因為ne⊥平面abc，所以ne∥sd．
由於sn=nb，所以ne=sd=
所以s△cmb= cmbm=
所以vb-cmn=vn-cmb= s△cmbne=××=
如圖，已知三稜柱abc-a1b1c1中，aa1⊥底面abc，ac=bc=2，aa1=4，ab=2，m，n分別是稜cc1，ab中點，
（ⅰ）求證：cn⊥平面abb1a1；
（ⅱ）求三稜錐b1-amn的體積。
（ⅰ）證明：因為三稜柱abc-a1b1c1中，aa1⊥底面abc，
又因為平面abc，
所以，因為，n是ab中點，
所以cn⊥ab，
因為，所以cn⊥平面abb1a1。
（ⅱ）證明：取ab1的中點g，鏈結mg，ng，
因為n，g分別是稜ab，ab1中點，
所以，又因為，
所以cm∥ng，cm=ng，
所以四邊形cngm是平行四邊形，
所以cn∥mg， cn⊥平面abb1a1。
所以mg⊥平面abb1a1。mg為三稜錐m-ab1n的高
。如圖，四稜錐p-abcd中，底面abcd為正方形，pd⊥平面abcd，pd=ab=4，e、f、g分別是pc、pd、bc的中點．
（1）求證：pa∥平面efg
（2）求三稜錐p-efg的體積
（3）求點p到平面efg的距離．
證明：（1）∵e、g分別是pc、bc的中點
∴eg是△pbc的中位線
∴eg∥pb
又∵pb平面pab，eg平面pab
∴eg∥平面pab
∵e、f分別是pc、pd的中點
∴ef∥cd
又∵底面abcd為正方形
∴cd∥ab
∴ef∥ab
又∵ab平面pab，ef平面pab
∴ef∥平面pab
又ef∩eg=e
∴平面efg∥平面pab
∵pa平面pab
∴pa∥平面efg
（2）∵底面abcd為正方形
∴gc⊥cd
∵pd⊥平面abcd
∴gc⊥pd
又∵cd∩pd=d
∴gc⊥平面pcd
∴gc為三稜錐g-pef的高
∵pd=ab=4
∴s△pef＝ s△pcd＝pdcd＝2
gc= bc＝2
∴vp-efg=vg-pef=×2×2＝
（3）取ad的中點m．連線mf並延長，過p作pn⊥mf=n．
∵ef⊥pd，ef⊥ad，pd∩ad=d
∴ef⊥平面pda，
∵pn平面pda，
∴ef⊥pn，
又∵pn⊥mn，mn∩ef=f
∴pn⊥平面femg
即pn是點p到平面efg的距離，
在△pnf中，pf=2，∠pfn=45°
∴pn＝
即點p到平面efg的距離為
如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1中，稜長為a，e為稜cc1上的動點．
（1）求證：a1e⊥bd；
（2）當e恰為稜cc1的中點時，求證：平面a1bd⊥平面ebd；
（3）在（2）的條件下，求[, , , , ]．
證明：（1）連ac，a1c1．∵正方體ac1中，aa1⊥平面abcd，∴aa1⊥bd．
∵正方形abcd，ac⊥bd且ac∩aa1=a．∴bd⊥平面acc1a1且e∈cc1．∴a1e平面acc1a1．∴bd⊥a1e．
（2）設ac∩bd=o，則o為bd的中點，連a1o，eo．
由（1）得bd⊥平面a1acc1，∴bd⊥a1o，bd⊥eo．
∴∠a1oe即為二面角a1-bd-e的平面角．
∵ab=a，e為cc1中點，∴a1o=a，eo=a，a1e=a
∴a1o2+oe2=a1e2．∴a1o⊥oe．∴∠a1oe=90°．
∴平面a1bd⊥平面bde．
（3）由（2）得a1o⊥平面bde且a1o=a，
又s△bde＝a2，
∴v=sh＝a3，
如圖是以正方形abcd為底面的正四稜柱被一平面所截得的幾何體，四邊形efgh為截面，且ab＝bc＝，ae=1，bf=dh=2，cg=3
（ⅰ）證明：截面四邊形efgh是菱形；
（ⅱ）求幾何體c-efgh的體積．
解：（ⅰ）證明：因為平面abfe∥平面cdhg，且平面efgh分別交
平面abfe、平面cdhg於直線ef、gh，所以ef∥gh．
同理，fg∥eh．
因此，四邊形efgh為平行四邊形．
因為bd⊥ac，而ac為eg在底面abcd上的射影，所以eg⊥bd．
因為bf=dh，所以fh∥bd．
因此，fh⊥eg．
所以四邊形efgh是菱形．
（ⅱ）連線ce、cf、ch、ca，則vc-efgh=v-vc-abfe-vc-adhe
∵ae=1，bf=dh=2，cg=3且幾何體是以正方形abcd為底面的正四稜柱的一部分，
∴該幾何體的體積為v＝2×2＝4，
vcabfe＝×s四邊形abfe×bc＝×(ae+bf)ab×bc＝1
同理，得vc-adhe=1
所以，vc-efgh=v-vc-abfe-vc-adhe=4-1-1=2，
即幾何體c-efgh的體積為2．
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