學而不思則罔，思而不學則殆。 ——《論語》
learning is the eye of the mind. 學問是心靈的眼睛。
高二數學（第26講）
第四節直線與平面垂直的判定和性質
主講教師：陳兆華（蘇州中學）
主審教師：張祖望（蘇州中學）
【教學內容、目標】
第四節直線與平面垂直的判定和性質
【知識重點與難點】
1． 掌握證明直線與平面垂直的常用方法：
① 利用線面垂直的定義：直線與平面內的任意一條直線垂直。
② 利用線面垂直的判定定理：直線與平面內的兩條相交直線垂直。
③ 利用線面垂直判定定理推論：若a∥b，b⊥α，則a⊥α.
2． 注意線面垂直與線線垂直的互相轉化．如要證直線l⊥c，可先證l垂直c所在的平面α，而要證l⊥α，則先證：l垂直α內的兩條相交直線a， b. 以上思路即：
cαl⊥cl⊥α， l⊥a， l⊥b， a，bα，a與b相交。
3． 利用線面垂直解決有關點麵距離、線面距離的計算問題。
要注意以下問題：
① 線段ab的端點a，b到平面α的距離分別為a， b， 則ab的中點m到平面α的距離為或｜｜，要分a，b在平面α同側與異側兩種情況。
② △abc三點到平面α的距離分別為a，b，c，且a，b，c在平面α的同側，則△abc的重心g到α的距離為，若點c在另一側，則g到α的距離為｜｜
4．在解決有關計算問題時，應注意「作，證，算」的有機結合。
5．在解決平面圖形中的計算問題時，為了增強直觀性，應注意按實際情況多畫幾個平面幾何圖形，用平面幾何的有關性質進行證明和計算。
例1．如圖，在正方體abcd－a1b1c1d1中，m，n，ｅ，ｆ分別是稜b1c1，a1d1，d1d，ab的中點。
（1）求證：a1ｅ⊥平面abｍｎ。
（2）平面直線a1e與mf所成的角。
分析（1）要證a1e⊥平面abmn，只要在平面中找到兩條相交直線與a1e都垂直，顯然mn與它垂直，這是因為mn⊥平面a1add1，另一方面，an與a1e是否垂直，這是同乙個平面中的問題，只要畫出平面幾何圖形，用平幾知識解決．（2）為（1）的應用。
證明 （1）∵ab⊥平面a1add1，
而a1ｅ平面a1add1，
∴ab⊥a1ｅ．在平面a1add1中，a1e⊥an，
∵an∩ab＝a，∴a1e⊥平面abmn。
解 （2）由（1）知a1e⊥平面abmn，而mf平面abmn，∴a1e⊥mf，
則a1e與mf所成的角為90°。
例2．如圖，在正方體abcd－a1b1c1d1中，m為稜cc1的中點，ac交bd於點o，求證：a1o⊥平面mbd。
分析要證a1o⊥平面mbd，只要在平面mbd內找到兩條相交直線與a1o都垂直，首先想到db，先觀察 a1o垂直db嗎？
方法1：發現a1o平分db，想到什麼？（△a1db是否為等腰三角形）
∵a1d＝a1b，do＝ob，∴a1o⊥db。
方法2：a1o⊥db嗎？即db⊥a1o嗎？db垂直包含a1o的平面嗎？（易見db⊥平面a1acc1）
再觀察a1o垂直何直線？dm？bm？
因這兩條直線與a1o均異面，故難以直接觀察，平面mdb中還有何直線？易想到mo，因mo與a1o相交，它們在同一平面內，這是乙個平幾問題，可畫出平幾圖進行觀察。
證明取cc1中點m，鏈結mo，∵db⊥a1a，db⊥ac，a1a∩ac=a，∴db⊥平面a1acc1，而a1o平面a1acc1，∴a1o⊥db．在矩形a1acc1中，∵tan∠aa1o=，tan∠moc=，∴∠aa1o=∠moc，則∠a1oa＋∠moc＝90°，∴a1o⊥om，∵om∩db＝o，∴a1o⊥平面mbd。
例3．在空間四邊形abcd中，bc=ac， ad=bd， 作be⊥cd，e為垂足，作ah⊥be於h，求證：ah⊥平面bcd。
分析一方面，要證ah⊥平面bcd，已有ah⊥be，必須再證ah與平面bcd中的另一條直線垂直。
另一方面，等腰三角形底邊上的中線也是高，故一般常將底邊中點取出，並與頂點連線。
∵bc＝ac，∴取ab中點，設為f，連cf，則cf⊥ab；同樣因da＝db，連df，有df⊥ab，而df∩cf＝f，可見ab⊥平面dcf，ab與平面dcf中的所有直線都垂直，用ab⊥？，因be⊥cd，故想到ab⊥cd，因ab∩be＝b，又可得cd⊥平面abe，∴cd⊥ah，從而發現平面bcd中的另一條直線cd與ah垂直。
證明取ab的中點f，連cf，df，∵ac＝bc，∴cf⊥ab，又∵ad＝bd，∴df⊥ab，而cf∩df＝f，∴ab⊥平面cdf，∵cd平面cdf，∴ab⊥cd，又be⊥cd，ab∩be＝b，∴cd⊥平面abe，∵ah平面abe，∴cd⊥ah，又∵be⊥ah，cd∩be＝e，∴ah⊥平面bcd。
點評從以上三例看到，要證線面垂直（如證直線l⊥α），必須在平面中找到兩條相交直線與此線垂直（即在平面α中找到兩條相交直線a， b與l垂直)，如證l⊥a，又看作要證l⊥a，常轉換為a垂直於包含l的平面β．這種利用「線線垂直與線面垂直」相互轉化的解題方法，是解決線面垂直或線線垂直問題的重要方法與策略。
例4．點p**段ab上，且ap∶pb＝1∶2，若a，b到平面α的距離分別為a，b，求點p到平面α的距離。
解：（1）a，b在平面α的同側時，p平面α的距離為；
（2）a，b在平面α的異側時，p平面α的距離為。
點評一是畫圖時，只要畫出如右上圖的平面圖形即可，無需畫出空間圖形；二是對第（2）種情形，若以平面為「水平面」，在其上方的點高度為正，在其下方的點高度為負，則第（2）種情形的結論，就是將（1）結論中的b改為(－b)，而無需再畫另一圖形加以求解。
例5．p為△abc所在平面外一點，pa＝pb，bc⊥平面pab，m為pc的中點，n為ab上的點，且an＝3bn，求證：ab⊥mn。
分析：要證ab⊥mn，只要證ab⊥mn所在的某平面，或證mn⊥ab所在的某平面，後者從幾何直觀上易見不合適，所以要證ab⊥mn所在的某平面，想在首先在ab所在的平面pab內構作與ab垂直的直線nf，這就要關心f在pb上的位置，另一方面是否有mf⊥ab，至此思路已明朗。
證明取ab的中點e，pb的中點f，連pe，fn，fm。
∵pa＝pb，∴pe⊥ab，而fn為△peb的中位線，
∴pe∥fn，則fn⊥ab。
∵bc⊥平面pab，∴bc⊥ab，∵fm為△pbc的中位線，∴fm∥bc，則fm⊥ab，
∵fn∩fm＝f，∴ab⊥平面fnm，mn平面fnm，
∴ab⊥mn。
例6．如圖，正方形abcd的邊長為4，e，f，分別是邊ab，ad的中點，pc⊥平面abcd，且pc＝2，求點b到平面pef的距離。
分析從b作平面pef的垂直顯見不易實現（估計即使作出，其垂足也在△pef的外部），因bd∥ef，則bd∥平面pef，故可將b到平面pef的距離，轉化為bd上任意一點到平面pef的距離，選直線bd上何點呢？從圖形的對稱性，首先想到bd的中點，設為o，估計o向平面pef作垂線，垂足在何處？若從ac的方向看圖，則整個圖形關於平面pac對稱（連ca），取ef的中點g，可見o在平面pef上的射影應在直線pg上，如何證明呢？
仍要注意整個圖形關於平面pac對稱，而從ac的方向看，bd「橫」放在你的正前方．看來要用到bd⊥平面pac。
解：設bd∩ac＝o，ac∩ef＝g，過o作oh⊥pg於h。
∵pc⊥平面abcd，db平面abcd，
∴pc⊥db．又ac⊥db，ac∩pc＝c，
∴db⊥平面pgc，又ef∥bd ，∴ｅｆ⊥平面pgc。
∵oh平面pgc，∴ef⊥oh，
又pg⊥oh，ef∩pg＝g，∴oh⊥平面pef。
∵bo∥ef，bo平面pef，ef平面pef，
∴bo∥平面pef，∴b到平面pef的距離等於oh。
∵gc＝，pc＝2，∴pg＝。
由△goh∽△gpc，得oh＝。
【同步練習】
1．若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面
（a）有且只有乙個 （b）可能存在也可能不存在
（c）有無數多個d）一定不存在
2．在正方體abcd－a1b1c1d1中，若e是a1c1的中點，則直線ce垂直於 （ ）
（a）ac （b）bd （c）a1d （d）a1d1
3．定點p不在△abc所在平面內，過p作平面α，使△abc的三個頂點到α的距離相等，這樣的平面共有
（a）1個 （b）2個 （c）3個 （d）4個
4．p為矩形abcd所在平面外一點，且pa⊥平面abcd，p到b，c，d三點的距離分別是，，，則p到a點的距離是
（a）1 （b）2 （c） （d）4
5．線段ab的兩個端點a，b到平面α的距離分別為6cm， 9cm， p**段ab上，ap：pb＝1：2，則p到平面α的距離為 。
6．△abc的三個頂點a，b，c到平面α的距離分別為2cm， 3cm， 4cm ， 且它們在α的同一側，則△abc的重心到平面α的距離為 。
7．△abc中，∠abc＝90°，pa⊥平面abc，則圖中直角三角形的個數為 。
8． rt△abc中，d是斜邊ab的中點，ac＝6，bc＝8，ec⊥平面abc，且ec＝12，則ed＝ 。
9．已知pa⊥⊙o所在平面，ab為⊙o的直徑，c是圓周上的任意一點，過a作ae⊥pc於e，求證：ae⊥平面pbc。
10．在空間四邊形abcd中，e，f分別是ad，bc的中點，若ac＝bd＝a，ef＝，∠bdc＝90°，求證：bd⊥平面acd。
11．四面體abcd中，ab，ac，ad兩兩垂直，若△bcd的垂心為o，求證：ao⊥平面bcd。
12．在正方體abcd－a1b1c1d1中，o為底面abcd的中心，b1h⊥d1o，h為垂足，若a1a＝a，（1）求證：b1h⊥平面ad1c；（2）求b1到平面ad1c的距離。
【練習答案】
1．（b）
若存在，則a⊥b，而由條件知，a不一定與b垂直。
2．（b）
bd⊥ac，bd⊥cc1，∴bd⊥平面a1acc1，∴bd⊥ce。
3．（d）
過p作乙個與ab，ac都平行的平面，則它符合要求；設邊ab，bc，ca的中點分別為e，f，g，則平面pef符合要求；同理平面pfg，平面pge符合要求。
4．（a）
設ab＝a，bc＝b，pa＝h，則a2+h2=5， b2+h2=13， a2+b2+h2=17，∴h=1。
5．7cm或1cm。
分a，b在平面α的同側與異側兩種情況．同側時，p到平面α的距離為＝7（cm），異側時，p到平面α的距離為＝1（cm）。
立體幾何證明
立體幾何證明高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下 難以建立座標系時再考慮 平行關係 線線平行 1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4 平行公理 3.線面平行的性質。4.麵麵平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。線面平行 1.直線與平面無公共點。2.平面外的一...
立體幾何證明及答案
1 本小題滿分12分 如圖,四稜柱的底面abcd是正方形,為底面中心,平面,1 證明 2 證明 平面平面 2 本小題滿分12分 正方體的稜長為l，點f h分別為a1d a1c的中點 1 證明 a1b 平面afc 2 證明 b1h平面afc 4 本題滿分14分 如圖，是正方形，是正方形的中心，底面，是...
課題 立體幾何證明
基礎知識 1 潮州市2013屆高三上學期期末 已知梯形中，分別是 上的點，沿將梯形翻摺，使平面 平面 如圖 是的中點 1 當時，求證 2 當變化時，求三稜錐的體積的函式式 2 如圖所示，已知圓的直徑長度為4，點為線段上一點，且，點為圓上一點，且 點在圓所在平面上的正投影為點，1 求證 平面 2 求點...