【例1】 如果四稜錐的四條側稜都相等，就稱它為「等腰四稜錐」，四條側稜稱為它的腰，以下四個命題中，假命題是（ ）
a．等腰四稜錐的腰與底面所成角都相等
b．等腰四稜錐的側面與底面所成的二面角都相等或互補
c．等腰四稜錐的底面四邊形必存在外接圓
d．等腰四稜錐的各頂點必在同一球面上
【例2】 如圖，正方體中，點在側面及其邊界上運動，並且總保持，則動點的軌跡是（ ）
a．線段
b．線段
c．中點與中點連成的線段
d．中點與中點連成的線段
【例3】 （2010重慶高考）
到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行於另一條直線的平面內的軌跡是（ ）
a．直線b．橢圓c．拋物線 d．雙曲線
【例4】 （2010福建高考）
如圖，若是長方體被平面截去幾何體後得到的幾何體，其中為線段上異於的點，為線段上異於的點，且，則下列結論中不正確的是（ ）
ab．四邊形是矩形
c．是稜柱d．是稜臺
【例5】 （2010江西高考）
過正方形的頂點作直線，使與稜，，所成的角都相等，這樣的直線可以作
a．1條 b．2條 c．3條 d．4條
【例6】 （2010全國卷ⅱ高考）
11．與正方體的三條稜、、所在直線的距離相等的點
a．有且只有1個b．有且只有2個
c．有且只有3個d．有無數個
【例7】 （2009海南）如圖，正方體的稜線長為，線段上有兩個動點，且，則下列結論中錯誤的是（ ）
a． b．平面
c．三稜錐的體積為定值
d．異面直線所成的角為定值
【例8】 （2008遼寧）
在正方體中，分別為稜，的中點，則在空間中與三條直線，，都相交的直線（ ）
a．不存在b．有且只有兩條
c．有且只有三條 d．有無數條
【例9】 （2009安徽文15）對於四面體，下列命題正確的是寫出所有正確命題的編號）．
①相對稜與所在的直線是異面直線；
②由頂點作四面體的高，其垂足是的三條高線的交點；
③若分別作和的邊上的高，則這兩條高的垂足重合；
④任何三個面的面積之和都大於第四個面的面積；
⑤分別作三組相對稜中點的連線，所得的三條線段相交於一點．
【例10】 （2023年一模·西城·文·題17）
如圖，在三稜錐中，平面，，為側稜上一點，
它的正（主）檢視和側（左）檢視如圖所示．
⑴證明：平面；
⑵求三稜錐的體積；
⑶在的平分線上確定一點，使得平面，並求此時的長．
【例11】 （2023年二模·宣武·文·題16）
已知某個幾何體的三檢視如圖（主檢視的弧線是半圓），根據圖中標出的資料，
⑴ 求這個組合體的體積；
⑵ 若組合體的底部幾何體記為，其中為正方形．
ⅰ）求證：平面；
ⅱ）求證：為稜上一點，求的最小值．
【例12】 （2023年二模·宣武·理·題16）
已知某個幾何體的三檢視如圖（主檢視的弧線是半圓），根據圖中標出的資料，
⑴求這個組合體的表面積；
⑵若組合體的底部幾何體記為，其中為正方形．
ⅰ）求證：；
ⅱ）設點為稜上一點，求直線與平面所成角的正弦值的取值範圍．
【例13】 （2009廣雅期中）
已知四稜錐的三檢視如下圖所示，是側稜上的動點．
⑴求四稜錐的體積；
⑵是否不論點在何位置，都有？證明你的結論．
【例14】 （2009江門市一模）
如圖，四稜錐，，在它的俯檢視中，，，．
⑴求證：是直角三角形；
⑵求四稜錐的體積．
【例15】 （2009安徽文20）
如圖，是邊長為的正方形，直線與平面平行，和是上的兩個不同點，且，．和是平面內的兩點，和都與平面垂直．
⑴證明：直線垂直且平分線段；
⑵若，，求多面體的體積．
【例16】 如圖，在矩形中，，，沿對角線將折起，使點移到點，⊥面，且在上．
⑴求證：⊥平面；
⑵求點到平面的距離；
⑶求直線與平面所成角的正弦值．
【例17】 如圖，和都是直角三角形，，，把三角形沿邊折起，使所在的平面與所在的平面垂直，若．
⑴求證：面⊥面；⑵求點到平面的距離．
【例18】 （2006江蘇-19）在正中，分別是邊上的點，
滿足，將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，鏈結
⑴求證：平面
⑵求直線與平面所成角的大小
⑶求二面角的余弦值大小．
【例19】 （07湖南理18）如圖1，，分別是矩形的邊的中點，是上的一點，將，分別沿翻折成，，並鏈結，使得平面平面，，且．鏈結，如圖2．
⑴ 證明：平面平面；
⑵ 當，，時，求直線和平面所成的角；
【例20】 （2009江西）在四稜錐中，底面是矩形，平面，，． 以的中點為球心、為直徑的球面交於點，交於點．
⑴求證：平面平面；
⑵求直線與平面所成的角的大小；
⑶求點到平面的距離．
【例21】 （2003京皖春）
如圖所示，正四稜柱中，底面邊長為，側稜長為．分別為稜的中點，．
⑴求證：平面平面；
⑵求點到平面的距離；
⑶求三稜錐的體積．
【例22】 （2009揚州中學高三期末）
在四稜錐中，，，平面，為的中點，．
⑴求四稜錐的體積；
⑵若為的中點，求證平面．
【例23】 如圖，已知所在的平面，是的直徑，， 是上一點，且，與所在的平面成角，是中點．為中點．
⑴求證：；⑵求證：；⑶求三稜錐的體積．
【例24】 （05-天津-19）如圖，在斜三稜柱中，，，，側面與底面所成的二面角為，、分別是稜、的中點．
⑴求與底面所成的角；
⑵證明：∥平面；
⑶求經過、、、四點的球的體積．
【例25】 （07福建理18）
如圖，正三稜柱的所有稜長都為，為中點．
⑴ 求證：面；
⑵ 求二面角的大小；
⑶ 求點到平面的距離；
\【例26】 如圖所示，正三稜柱的底邊長為，高為，過作一截面交側稜於，截面與底面成角，
⑴求截面的面積；
⑵求點到平面的距離；
⑶求與平面所成的角的正弦值．
【例27】 （05-江西-20）如圖，在長方體中，，，點在稜上移動．
⑴證明：⊥；
⑵當為的中點時，求點到面的距離；
⑶等於何值時，二面角的大小為．
【例28】 （2009江西）
在四稜錐中，底面是矩形，平面，，． 以的中點為球心、為直徑的球面交於點，交於點．
⑴求證：平面平面；
⑵求直線與平面所成的角的大小；
⑶求點到平面的距離．
【例29】 （08北京卷16）如圖，在三稜錐中，，，，．
⑴ 求證：；
⑵ 求二面角的大小；
⑶ 求點到平面的距離．
【例30】 如圖，四稜錐的底面是，的矩形，側面是等邊三角形，且側面底面．
⑴證明：側面；
⑵證明：側面⊥側面；
⑶求側稜與底面所成角的大小．
【例31】 如圖，是正四稜錐，是正方體，其中，．
⑴求證：；
⑵求平面與平面所成的銳二面角的大小；
⑶求到平面的距離．
【例32】 如圖所示，正四稜柱中，底面邊長為，側稜長為．分別為稜的中點，．
⑴求證：平面平面；
⑵求點到平面的距離；
⑶求三稜錐的體積．
【例33】 （07福建理18）
如圖，正三稜柱的所有稜長都為，為中點．
⑴ 求證：面；
⑵ 求二面角的大小；
⑶ 求點到平面的距離；
【例34】 （05-江西-20）如圖，在長方體中，，，點在稜上移動．
⑴證明：⊥；
⑵當為的中點時，求點到面的距離；
⑶等於何值時，二面角的大小為．
【例35】 已知為正三稜柱，是的中點．
⑴證明：平面；
⑵若，．
①求二面角的大小；
②若為的中點，求三稜錐的體積．
【例36】 四稜錐的底面是邊長為的正方形，平面．
⑴若麵與面所成的二面角為，求這個四稜錐的體積；
⑵證明無論四稜錐的高怎樣變化，二面角恆大於
【例37】 （1999全國-文22）如圖，已知正四稜柱，點在稜上，截面∥，且面與底面所成的角為，．
⑴求截面的面積；
⑵求三稜錐的體積．
【例38】 （08遼寧卷19）如圖1，在稜長為的正方體中，，截面，截面．
⑴ 證明：平面和平面互相垂直；
⑵ 證明：截面和截面面積之和是定值，並求出這個值；
⑶ 若與平面所成的角為，求與平面所成角的正弦值．
【例39】 （2009西城區一模）
如圖，在四稜錐中，底面是直角梯形，，，又，，，．
⑴求證：平面；
⑵求二面角的大小；
⑶求點到平面的距離．
【例40】 （2009石景山區一模）
如圖，已知正三稜柱的底面邊長是，是側稜的中點，直線與側面所成的角為．
⑴求此正三稜柱的側稜長；
⑵求二面角的大小；
⑶求點到平面的距離．
【例41】 （海淀二模）
如圖，直三稜柱中，，．、分別為稜、的中點．
⑴ 求點到平面的距離；
⑵ 求二面角的大小；
⑶ **段上是否存在一點，使得平面？若存在，確定其位置並證明結論；若不存在，說明理由．
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