【說明】 本試卷分第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分．考試時間120分鐘．請將第ⅰ卷的答案填入答題欄內，第ⅱ卷可在各題後直接作答.
第ⅰ卷 (選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)
1．複數在復平面內對應的點與原點的距離為( )
a．1 b.
c. d．2
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，則|2a＋3b|＝( )
a. b．4
c．3 d．2
3．已知α，β表示兩個相交的平面，直線l在平面α內且不是平面α，β的交線，則「l⊥β」是「α⊥β」的( )
a．充分條件 b．必要條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
4.如圖，水平放置的三稜柱的側稜長和底邊長均為2，且側稜aa1⊥平面a1b1c1，正檢視是邊長為2的正方形，該三稜柱的側檢視的面積為( )
a．4 b．2
c．2 d.
5．已知乙個數列的各項是1或2，首項為1，且在第k個1和第(k＋1)個1之間有(2k－1)個2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，則前2 012項中1的個數為( )
a．44 b．45
c．46 d．47
6．(理)若函式f(x)＝，則f(2 012)＝( )
a. b．－
c. d.
(文)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，則sin α的值是( )
a. b.
c. d.
7．點p在雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上，f1，f2分別是雙曲線的左、右焦點，∠f1pf2＝90°，且△f1pf2的三條邊長之比為3∶4∶5.則雙曲線的漸近線方程是( )
a．y＝±2x b．y＝±4x
c．y＝±2x d．y＝±2x
8．(理)從1到10這十個自然數中隨機取三個數，則其中乙個數是另兩個數之和的概率是( )
a. b.
c. d.
(文)在三稜錐s－abc中，ab⊥bc，ab＝bc＝，sa＝sc＝2，ac的中點為m，∠smb的余弦值是，若s、a、b、c都在同一球面上，則該球的表面積是( )
a. b．2π
c．6π d.π
9．已知為等差數列，其公差為－2，且a7是a3，a9的等比中項，sn為的前n項和，n∈n*，則s10的值為( )
a．－110 b．－90
c．90 d．110
10．若程式框圖如圖所示，視x為自變數，y為函式值，可得函式y＝f(x)的解析式，則f(x)＞f(2)的解集為( )
a．(2，＋∞) b．(4,5]
c．(－∞，－2] d．(－∞，－2)∪(3.5,5]
11．已知定義在r上的函式f(x)滿足f(1)＝1，且f(x)的導數f′(x)在r上恒有f′(x)＜，則不等式f(x2)＜＋的解集為( )
a．(1，＋∞) b．(－∞，－1)
c．(－1,1) d．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
12．定義在r上的偶函式f(x)滿足f(x＋π)＝－f(x)，且當x∈[0，π]時，0＜f(x)＜1；當x∈(0，π)且x≠時，有f′(x)＞0，則函式y＝f(x)－sin x在x∈[－2π，2π]時的零點個數是( )
a．2 b．4
c．6 d．8
答題欄第ⅱ卷 (非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填寫在題中的橫線上)
13．下列命題正確的序號為________．
①函式y＝ln(3－x)的定義域為(－∞，3]；
②定義在[a，b]上的偶函式f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最小值為5；
③若命題p：對x∈r，都有x2－x＋2≥0，則命題綈p：x∈r，有x2－x＋2＜0；
④若a＞0，b＞0，a＋b＝4，則＋的最小值為1.
14．(理)10名運動員中有2名老隊員和8名新隊員，現從中選3人參加團體比賽，要求老隊員至多1人入選且新隊員甲不能入選的選法有________種．
(文)為了均衡教育資源，加大對偏遠地區的教育投入，調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年教育支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年教育支出y具有線性相關關係，並由調查資料得到y對x的回歸直線方程：
＝0.15x＋0.2.
由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年教育支出平均增加________萬元．
15．已知a、b都是正實數，函式y＝2aex＋b的圖象過點(0,1)，則＋的最小值是________．
16．已知數列 為等差數列，a3＝3，a1＋a2＋…＋a6＝21，數列{}的前n項和為sn，若對一切n∈n*，恒有s2n－sn＞成立，則m能取到的最大正整數是________．
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程及演算步驟)
17．(本小題滿分12分)已知向量a＝(sin x,1)，b＝(1，cos x)，且函式f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的導函式．
(1)求函式f(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值和最小正週期；
(2)將f(x)橫座標縮短為原來的一半，再向右平移個單位得到g(x) ，設方程g(x)－1＝0在(0，π)上的兩個零點為x1，x2，求x1＋x2的值．
18．(理)(本小題滿分12分)
如圖，在四稜錐p－abcd中，pa⊥底面abcd，∠dab為直角，ab∥cd，ad＝cd＝2ab，e、f分別為pc、cd的中點．
(ⅰ)求證：cd⊥平面bef；
(ⅱ)設pa＝k·ab，且二面角e－bd－c大於30°，求k的取值範圍．
(文)(本小題滿分12分)已知在如圖的多面體中，ae⊥底面befc，ad∥ef∥bc，be＝ad＝ef＝bc，g是bc的中點．
(1)求證：ab∥平面deg；
(2)求證：eg⊥平面bdf.
19.(理)(本小題滿分12分)隨著建設資源節約型、環境友好型社會的宣傳與實踐，低碳綠色的出行方式越來越受到追捧，全國各地興起了建設公共自行車租賃系統的熱潮．據不完全統計，已有北京、株洲、杭州、太原、蘇州、深圳等城市建成公共自行車租賃系統．某市公共自行車實行60分鐘內免費租用，60分鐘至120分鐘(含120分鐘)收取1元租車服務費，120分鐘至180分鐘(含180分鐘)收取2元租車服務費，180分鐘以上的時間按每小時3元計費(不足1小時的按1小時計)，租車費用實行分段合計．現有甲、乙兩人相互獨立到租車點租車上班(各租一車一次)，設甲、乙不超過1小時還車的概率分別為，，1小時以上且不超過2小時還車的概率分別為，，2小時以上且不超過3小時還車的概率分別為，，兩人租車時間均不會超過4小時．
(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；
(2)設甲一周內有四天(每天租車一次)均租車上班，x表示一周內租車費用不超過2元的次數，求x的分布列與數學期望．
(文)(本小題滿分12分)某工廠對一批產品進行了抽樣檢測．如圖是根據抽樣檢測後的產品淨重(單位：克)資料繪製的頻率分布直方圖，其中產品淨重的範圍是[96,106]，樣本資料分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知樣本中產品淨重小於100克的個數是36.
(1)求樣本容量及樣本中淨重大於或等於98克並且小於104克的產品的個數；
(2)已知這批產品中每個產品的利潤y(單位：元)與產品淨重x(單位：克)的關係式為y＝，求這批產品平均每個的利潤．
20.(本小題滿分12分)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為f1、f2，過f1的直線l與橢圓交於a、b兩點．
(ⅰ)如果點a在圓x2＋y2＝c2(c為橢圓的半焦距)上，且|f1a|＝c，求橢圓的離心率；
(ⅱ)若函式y＝＋logmx(m＞0且m≠1)的圖象，無論m為何值時恆過定點(b，a)，求·的取值範圍．
21．(本小題滿分12分)已知函式f(x)＝ln x－a2x2＋ax(a∈r)．
(1)當a＝1時，證明函式f(x)只有乙個零點；
(2)若函式f(x)在區間(1，＋∞)上是減函式，求實數a的取值範圍．
請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分．
22．(本小題滿分10分)選修4－1：幾何證明選講
如圖，△abo三邊上的點c、d、e都在⊙o上，已知ab∥de，ac＝cb.
(1)求證：直線ab是⊙o的切線；
(2)若ad＝2，且tan∠acd＝，求⊙o的半徑r的長．
23．(本小題滿分10分)選修4－4：座標系與引數方程
以直角座標系的原點o為極點，x軸正半軸為極軸，並在兩種座標系中取相同的長度單位．已知直線l的引數方程為(t為引數，0＜α＜π)，曲線c的極座標方程為ρ＝.
(1)求曲線c的直角座標方程；
(2)設直線l與曲線c相交於a，b兩點，當α變化時，求|ab|的最小值．
24．(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講
設函式f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a.
(1)當a＝1時，求函式f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥＋1對任意的實數x恆成立，求實數a的取值範圍．
1．b ＝＝＝－i，所以複數在復平面內對應的點與原點的距離為＝.
2．b 依題意得，＝，故m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故|2a＋3b|＝＝4，選b.
3．a 因為lα，l⊥β，所以α⊥β；但若α⊥β， 則l⊥β不一定成立，所以「l⊥β」是「α⊥β」的充分條件．
4．b 依題意得，該幾何體的側檢視是邊長分別為2和的矩形，因此其側檢視的面積為2，選b.
5．b 依題意得，第k個1和它後面(2k－1)個2的個數之和為2k，按這個要求分組，每組數字的個數組成乙個以2為首項、2為公差的等差數列，該數列的前n項和等於＝n(n＋1)．注意到2 012＝44×45＋32，因此在題中的數列中，前2 012項中共有45個1，選b.
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