2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合a=，b=，則
a． b． c． d．
2．如圖，正方形abcd內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色
部分關於正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是
abcd
3．設有下面四個命題
：若複數滿足，則若複數滿足，則；
：若複數滿足，則若複數，則.
其中的真命題為
ab． c． d．
4．記為等差數列的前項和．若，，則的公差為
a．1b．2c．4d．8
5．函式在單調遞減，且為奇函式．若，則滿足的的取值範圍是
abcd．
6．展開式中的係數為
a．15b．20c．30d．35
7．某多面體的三檢視如圖所示，其中正檢視和左檢視都
由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯
檢視為等腰直角三角形.該多面體的各個麵中有若干個是
梯形，這些梯形的面積之和為
a．10 b．12 c．14 d．16
8．右面程式框圖是為了求出滿足3n2n>1000的最小偶數n，
那麼在和兩個空白框中，可以分別填入
a．a>1 000和n=n+1 b．a>1 000和n=n+2
c．a1 000和n=n+1 d．a1 000和n=n+2
9．已知曲線c1：y=cos x，c2：y=sin (2x+)，則下面結論正確的是
a．把c1上各點的橫座標伸長到原來的2倍，縱座標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線c2
b．把c1上各點的橫座標伸長到原來的2倍，縱座標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線c2
c．把c1上各點的橫座標縮短到原來的倍，縱座標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線c2
d．把c1上各點的橫座標縮短到原來的倍，縱座標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線c2
10．已知f為拋物線c：y2=4x的焦點，過f作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與c交於a、b兩點，直線l2與c交於d、e兩點，則|ab|+|de|的最小值為
a．16b．14c．12d．10
11．設xyz為正數，且，則
a．2x<3y<5zb．5z<2x<3yc．3y<5z<2xd．3y<2x<5z
12．幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟體。為激發大家學習數學的興趣，他們推出了「解數學題獲取軟體啟用碼」的活動.這款軟體的啟用碼為下面數學問題的答案：
已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數n：n>100且該數列的前n項和為2的整數冪。
那麼該款軟體的啟用碼是
a．440b．330c．220d．110
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b
14．設x，y滿足約束條件，則的最小值為
15．已知雙曲線c：（a>0，b>0）的右頂點為a，以a為圓心，b為半徑做圓a，圓a與雙曲線c的一條漸近線交於m、n兩點。若∠man=60°，則c的離心率為________。
16．如圖，圓形紙片的圓心為o，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形abc的中心為o。d、e、f為圓o上的點，△dbc，△eca，△fab分別是以bc，ca，ab為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開後，分別以bc，ca，ab為摺痕折起△dbc，△eca，△fab，使得d、e、f重合，得到三稜錐。
當△abc的邊長變化時，所得三稜錐體積（單位：cm3）的最大值為_______。
三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．（12分）△abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知△abc的面積為
（1）求sinbsinc;
（2）若6cosbcosc=1，a=3，求△abc的周長.
18.（12分）如圖，在四稜錐p-abcd中，ab//cd，且.
（1）證明：平面pab⊥平面pad；
（2）若pa=pd=ab=dc，，求二面角a-pb-c的余弦值.
19．（12分）為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，並測量其尺寸（單位：cm）．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分佈．
（1）假設生產狀態正常，記x表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數，求及的數學期望；
（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．
（ⅰ）試說明上述監控生產過程方法的合理性；
（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：
經計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．
用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的資料，用剩下的資料估計和（精確到0.01）．
附：若隨機變數服從正態分佈，則，
，．20.（12分）已知橢圓c：（a>b>0），四點p1（1,1），p2（0,1），p3（–1，），p4（1，）中恰有三點在橢圓c上.
（1）求c的方程；
（2）設直線l不經過p2點且與c相交於a，b兩點。若直線p2a與直線p2b的斜率的和為–1，證明：l過定點.
21.（12分）已知函式ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求a的取值範圍.
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。
22．[選修4―4：座標系與引數方程]（10分）在直角座標系xoy中，曲線c的引數方程為
（θ為引數），直線l的引數方程為.
（1）若a=1，求c與l的交點座標；
（2）若c上的點到l的距離的最大值為，求a.
23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函式。
（1）當a=1時，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求a的取值範圍.
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