典型例題一
例1 如果命題「座標滿足方程的點都在曲線上」不正確，那麼以下正確的命題是
（a）曲線上的點的座標都滿足方程．
（b）座標滿足方程的點有些在上，有些不在上．
（c）座標滿足方程的點都不在曲線上．
（d）一定有不在曲線上的點，其座標滿足方程．
分析：原命題是錯誤的，即座標滿足方程的點不一定都在曲線上，易知答案為d．
典型例題二
例2 說明過點且平行於軸的直線和方程所代表的曲線之間的關係．
分析：「曲線和方程」的定義中所列的兩個條件正好組成兩個集合相等的充要條件，二者缺一不可．其中「曲線上的點的座標都是方程的解」，即純粹性；「以方程的解為座標的點都是曲線上的點」，即完備性．這是我們判斷方程是不是指定曲線的方程，曲線是不是所給方程的曲線的準則．
解：如下圖所示，過點且平行於軸的直線的方程為，因而在直線上的點的座標都滿足，所以直線上的點都在方程表示的曲線上．但是以這個方程的解為座標的點不會都在直線上，因此方程不是直線的方程，直線只是方程所表示曲線的一部分．
說明：本題中曲線上的每一點都滿足方程，即滿足純粹性，但以方程的解為座標的點不都在曲線上，即不滿足完備性．
典型例題三
例3 說明到座標軸距離相等的點的軌跡與方程所表示的直線之間的關係．
分析：該題應該抓住「純粹性」和「完備性」來進行分析．
解：方程所表示的曲線上每乙個點都滿足到座標軸距離相等．但是「到座標軸距離相等的點的軌跡」上的點不都滿足方程，例如點到兩座標軸的距離均為3，但它不滿足方程．因此不能說方程就是所有到座標軸距離相等的點的軌跡方程，到座標軸距離相等的點的軌跡也不能說是方程所表示的軌跡．
說明：本題中「以方程的解為座標點都在曲線上」，即滿足完備性，而「軌跡上的點的座標不都滿足方程」，即不滿足純粹性．只有兩者全符合，方程才能叫曲線的方程，曲線才能叫方程的曲線．
典型例題四
例4 曲線與直線有兩個不同的交點，求的取值範圍．有乙個交點呢？無交點呢？
分析：直線與曲線有兩個交點、乙個交點、無交點，就是由直線與曲線的方程組成的方程組分別有兩個解、乙個解和無解，也就是由兩個方程整理出的關於的一元二次方程的判別式分別滿足、、．
解：由得
∴∴當即，即時，直線與曲線有兩個不同的交點．
當即，即或時，直線與曲線有乙個交點．
當即，即或時，直線與曲線沒有公共點．
說明：在判斷直線與曲線的交點個數時，由於直線與曲線的方程組成的方程組解的個數與由兩方程聯立所整理出的關於(或)的一元方程解的個數相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通過判別式來判斷直線與曲線的交點個數，但如果是兩個二次曲線相遇，兩曲線的方程組成的方程組解的個數與由方程組所整理出的一元方程解的個數不一定相同，所以遇到此類問題時，不要盲目套用上例方法，一定要做到具體問題具體分析．
典型例題五
例5 若曲線與有兩個公共點，求實數的取值範圍．
分析：將「曲線有兩個公共點」轉化為「方程有兩個不同的解」，從而研究一元二次方程的解的個數問題．若將兩條曲線的大致形狀現出來，也許可能得到一些啟發．
解法一：由得：
∵，∴，
即．要使上述方程有兩個相異的非負實根．
則有：又∵
∴解之得：．
∴所求實數的範圍是．
解法二：的曲線是關於軸對稱且頂點在原點的折線，而表示斜率為1且過點的直線，由下圖可知，當時，折線的右支與直線不相交．所以兩曲線只有乙個交點，當時，直線與折線的兩支都相交，所以兩條直線有兩個相異的交點．
說明：這類題較好的解法是解法二，即利用數形結合的方法來探求．若題設條件中「」改為呢，請自己探求．
典型例題六
例6 已知，其中，，，則角平分線的方程是(如下圖)，對嗎？
分析：本題主要考查曲線方程概念掌握和理解的程度，關鍵是理解三角形內角平分線是一條線段．
解：不對，因為內角平分線是一條線段，而方程的圖形是一條直線．如點座標適合方程，但點不在內角的平分線上．
綜合上述內角平分線為：．
說明：判斷曲線的方程或方程的曲線，要緊扣定義，兩個條件缺一不可，關鍵是要搞清楚曲線的範圍．
典型例題七
例7 判斷方程所表示的曲線．
分析：根據方程的表面形式，很難判斷方程的曲線的形狀，因此必需先將方程進行等價變形．
解：由原方程可得：
，即∴方程的曲線是兩條射線，如圖所示：
說明：判斷方程表示的曲線，在化簡變形方程時要注意等價變形．如方程等價於且，即，原方程的曲線是拋物線一部分．
典型例題八
例8 如圖所示，已知、是兩個定點，且，動點到定點的距離是4，線段的垂直平分線交線段於點，求動點的軌跡方程．
分析：本題首先要建立適當直角座標系，動點滿足的條件(等量關係)題設中沒有明顯給出，要從題意中分析找出等量關係．鏈結，則，由此，即動點到兩定點，距離之和為常數．
解：過，兩點的直線為軸，，兩點的中點為座標原點，建立直角座標系
∵，∴，兩點座標分別為，．
鏈結．∵垂直平分線段，∴，．
設點，由兩點距離公式得
，化簡方程，移項兩邊平方得(移項)
．兩邊再平方移項得：
，即為所求點軌跡方程．
說明：通過分析題意利用幾何圖形的有關性質，找出點與兩定點，距離之和為常數，是解本題的關鍵．方程化簡過程也是很重要的，且化簡過程也保證了等價性．
典型例題九
例9 過點作兩條互相垂直的直線，，若交軸於，交軸於，求線段中點的軌跡方程．
解：連線，設，則，．
∵∴ 為直角三角形．
由直角三角形性質知
即化簡得的軌跡方程為
說明：本題也可以用勾股定理求解，還可以用斜率關係求解，因此本題可有三種解法．用斜率求解的過程要麻煩一些．
典型例題十
例10 求與兩定點、滿足（是常數）的動點的軌跡方程．
分析：按求曲線方程的方法步驟求解．
解法一：如圖甲，取兩定點和的連線為軸，過的中點且與垂直的直線為軸建立座標系．
設，，，則：，．
據題意，，有得．
由於是常數，且，所以為動點的軌跡方程，即動點的軌跡是一條平行於軸的直線．
解法二：如圖乙，取與兩點連線為軸，過點且與垂直的直線為軸建立座標系．
設，，，則：，．
據題意，，有，
得，即動點的軌跡方程為，它是平行於軸的一條直線．
解法三：如圖丙建立座標系，設，，，則
，．據題意，，有
，整理後得到點的軌跡方程為：
，它是一條直線．
說明：由上面介紹的三種解法，可以看到對於同一條直線，在不同的座標系中，方程不同，適當建立座標系如解法
一、解法二，得到的方程形式簡單、特性明顯，一看便知是直線．而解法三得到的方程煩瑣、冗長，若以此為基礎研究其他問題，會引起不必要的麻煩．因此，在求曲線方程時，根據具體情況適當選取座標系十分重要．另外，也要注意到本題所求的是軌跡的方程，在作解答表述時應強調曲線的方程，而不是曲線．
典型例題十一
例11 兩直線分別繞著定點和()在平面內轉動，且轉動時保持相互垂直，求兩直線的交點的軌跡方程．
分析：建立適當的直角座標系，利用直角三角形的性質，列出動點所滿足的等式．
解：取直線為軸，取線段的中點為原點建立直角座標系，則：
，，屬於集合．
設，則，化簡得．
這就是兩直線的交點的軌跡方程．
說明：本題易出現如下解答錯誤：
取直線為軸，取線段的中點為原點建立直角座標系，則：
，，交點屬於集合．
設，則，，
故，即()．
要知道，當軸且另一直線與軸重合時，仍有兩直線互相垂直，此時兩直線交點為．同樣軸重合時，且另一直線與軸仍有兩直線互相垂直，此時兩直線交點為．因而，與應為所求方程的解．
糾正的方法是：當或的斜率不存在時，即時，和也在曲線上，故所求的點的軌跡方程是．
求出曲線上的點所適合的方程後，只是形式上的曲線方程，還必須對以方程的解為座標的點作考察，既要剔除不適合的部分，也不要遺漏滿足條件的部分．
典型例題十二
例12 如圖，的兩條直角邊長分別為和，與兩點分別在軸的正半軸和軸的正半軸上滑動，求直角頂點的軌跡方程．
分析：由已知是直角，和兩點在座標軸上滑動時，也是直角，由平面幾何知識，、、、四點共圓，則有，這就是點滿足的幾何條件．由此列出頂點的座標適合的方程．
解：設點的座標為，鏈結，由，所以、、、四點共圓．
從而．由，，有，即．
注意到方程表示的是過原點、斜率為的一條直線，而題目中的與均在兩座標軸的正半軸上滑動，由於、為常數，故點的軌跡不會是一條直線，而是直線的一部分．我們可考察與兩點在座標軸上的極端位置，確定點座標的範圍．
如下圖，當點與原點重合時，
，所以．
如下圖，當點與原點重合時，點的橫座標．
由射影定理，，即，有．由已知，所以．
故點的軌跡方程為：（）．
說明：求出曲線上的點所適合的方程後，只是形式上的曲線方程，還必須對以方程的解為座標的點作考察，剔除不適合的部分．
典型例題十三
例13 過點作兩條互相垂直的直線、，若交軸於，交軸於，**段上，且，求點的軌跡方程．
分析：如圖，設，題中幾何條件是，在解析幾何中要表示垂直關係的代數關係式就是斜率乘積為－1，所以要求的軌跡方程即、之間的關係，首先要把、的斜率用、表示出來，而表示斜率的關鍵是用、表示、兩點的座標，由題可知是、的定比分點，由定比分點座標公式便可找出、、座標之間的關係，進而表示出、兩點的座標，並求出點的軌跡方程．
解：設，，
∵**段上，且．
∴分所成的比是，
由，得，
∴、又∵，∴的斜率，的斜率．
∵，∴．
化簡得：．
說明：本題的上述解題過程並不嚴密，因為需在時才能成立，而當時，，的方程為．所以的方程是．故，可求得，而也滿足方程．故所求軌跡的方程是．這類題在解答時應注意考慮完備性和純粹性．
典型例題十四
例14 如圖，已知兩點，以及一直線，設長為的線段在直線上移動．求直線和的交點的軌跡方程．
分析1：設，題中的幾何條件是，所以只需用表示出、兩點的座標，便可求出曲線的方程，而要表示點座標可先找出、兩點座標的關係，顯然、、三點共線．這樣便可找出、座標之間的關係，進而表示出的座標，同理便可表示出的座標，問題便可以迎刃而解．
解法一：設、、．
由、、三點共線可得：（利用與斜率相等得到）
∴．由、、三點共線可得．
∴．又由得．
∴，∴．
化簡和所求軌跡方程為：．
分析2：此題也可以先用、、三點共線表示出點座標，再根據表示出點座標，然後利用、、三點共線也可求得軌跡方程．
解法二：設，
由且在直線上且在的上方可得：
由解法一知，
∴又由、、三點共線可得：
．化簡得所求軌跡方程為：．
解法三：由於且在直線上
所以可設，．
則直線的方程為：
直線的方程為：
由上述兩式解得∴∴，
即．而當時，直線與平行，沒有交點．
∴所求軌跡方程為．
說明：本題的前兩種方法屬於直接法，相對較繁，而後一種方法，事實上它涉及到引數的思想(為引數)，利用交點求軌跡方程．一般先把交點表示為關於引數的座標，然後消去引數，這也反映出運動的觀點．
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