相似形——比例線段
學習目標及要求
1、了解相似圖形、相似多邊形、相似比及比例線段等概念。
2、了解比例線段的性質。
3、了解**分割比及**數。
知識點1：相似多邊形
從幾何直觀上來說，兩個圖形如果形狀一致，而大小不同，則稱這兩個圖形相似，具體到多邊形，稱之為相似多邊形。從嚴謹定義上來說，如果兩個多邊形各邊成比例，各角相等，則稱這兩個多邊形為相似多邊形。
知識點2：比例線段
1、線段的比：如果用同一長度單位量得兩條線段a、b的長度分別為m，n，則m∶n就是線段a，b的比，記作a∶b＝m∶n或，其中a叫做比例前項，b叫做比例後項。
2、比例線段：四條線段，如果其中兩條線段的比與另外兩條線段的比相同，則稱這四條線段成比例線段，簡稱比例線段。例如線段a、b、c、d，如果，則稱線段a、b、c、d成比例線段，這裡要注意，a、b、c、d必須按順序寫出，不能寫成或。
3、比例外項、比例內項、第四比例項、比例中項：
若，則稱a、d為比例外項，b、c、為比例內項，d為第四比例項，如果b＝c，則稱b為a、c的比例中項。
知識點3：比例性質
1、基本性質：如果，則根據等式的基本性質，兩邊同時乘以bd得。
2、合比性質：如果，則根據等式的基本性質，兩邊同時加上1或－1得。
3、等比性質：如果（），則，運用這個性質時，一定要注意的條件。
知識點4： **分割
把線段ab分成兩條線段ap、pb（ap＞pb），如果ap是線段pb和ab的比例中項，則線段ap把線段ab**分割，點p叫做線段ab的**分割點。
典型例題
例1、已知，且是、的比例中項，則 ，若是、的比例中項，則 。
例2、已知，求：的值。
例3、已知，求。
例4、如圖，△abc中，cd平分∠acb交ab於d，de∥bc交ac於e點，若ad︰db＝2︰3，ac＝15，求de的長。
例5、在比例尺為1：8000的安慶市城區地圖上，集賢南路的長度約為25 cm，它的實際長度約為（ ）。
a．320cm b．320m c．2000cm d．2000m
中考考點與考題（1）線段的比；（2）比例線段及比例性質；（3）**分割。
例6、如果線段上一點p把線段分割為兩條線段pa、pb當pa2=pb·ab,即pa≈0.618ab時,則稱點p是線段ab的**分割點,現已知線段ab=10,點p是線段ab的**分割點,如圖所示,那麼線段pb的長約為（ ）。
a、6.18b、0.382 c、0.618 d、3.82
例7、要拼出和圖1 中的菱形相似的較長對角線為88cm的大菱形（如圖2）需要圖1中的菱形的個數為
易錯點易錯點1、概念理解不清：
易錯點導析：相似多邊形必須各邊對應成比例，且各角相等，而不是只要各角相等或各邊對應成比例即可。
例1：下列說法正確的是（ ）
a 兩個矩形相似b 兩個梯形相似
c 兩個正方形相似d 兩個平行四邊形相似
易錯點2、考慮問題不全面：
易錯點導析：有很多開放題結果不唯一，可以有很多種種不同的結果，考慮問題應該全面，而不能只考慮其中一種情況。
例2：已知線段3，4，6與是成比例線段，則。
拓展與創新
1、已知，則
2、若，則為（ ）。
a． bc． d．
3、已知：，則
4、雨後初晴，一學生在運動場上玩耍，從他前面2m遠一塊小積水處，他看到旗桿頂端的倒影，如果旗桿底端到積水處的距離為40m，該生的眼部高度是1.5m，那麼旗桿的高度是m。
學習方法
1、 對於相似圖形及相似多邊形的理解，可在生活中尋找例項，加強幾何直觀上的理解，也可利用多**資訊科技，在電腦上做出相應的圖形，幫助形成相似的概念。
2、對於比例性質的學習，應加強利用比例性質解決問題的訓練，以形成應用比例性質的能力。
3、在生活中深入理解**分割點和**分割比的意義，領會**分割的美感。
跟蹤練習
1、下列說法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等邊三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似。其中正確的是把你認為正確的說法的序號都填上)。
2、量得兩條線段，的長度分別為8㎝，32㎝，則
3、如圖，點c是ab的中點，點d在bc上，ab=24，bd=5，
（1）ac∶cb＝ ；ac∶ab＝ ；
（2）；；。
4、若x是8和4的比例中項，則x的值為（ ）
a． b． c． d．以上答案均不對
5、已知，則，，。
6、若，則；若，則
7、已知，則k等於（ ）
a．1 b． c． d．
8、已知a、b兩地的實際距離ab＝5千公尺，畫在地圖上的距離＝2㎝，則這張地圖的比例尺是（ ）。 a、 2∶5 b、 1∶25000 c、 25000∶1 d、 1∶250000
9、 已知點c是線段ab的**分割點，且ac＞cb，則下列等式中成立的是（ ）
a．ab2=ac·cb b．cb2=ac·ab c．ac2=cb·ab d．ac2=2bc·ab
10、把長為7cm的線段進行**分割，則分成的較短的線段長為（ ）
a． b． c． d．
11、已知
12、將數48分成三部分，且三數之比為2:4:6，則最小數是（ ）
a．8 b．16 c．24 d．4
13、兩個相似三角形的相似比係數為，如果它們的周長之差4cm，那麼這兩個相似三角形的周長分別是
14、三線段、、中，的一半的長等於的四分之一長，也等於的六分之一長，那麼這三條線段的和與的比等於（ ）
abcd
15、若，則
16、如果，那麼
17、已知三個數1，2，，請你再添上乙個（只填乙個）數，使它們能構成乙個比例式，則這個數是________。
18、已知：如圖，在中，，，，且
（1）求的長；（2）求證：。
例題答案
例1、點撥：解此題要注意兩點，1、比例條件的常規使用方法。2、比例中項的意義。
解答：∵，可令，則，又∵是、的比例中項，∴，∴，∴；若是、的比例中項，則，即， ∴。
例2、點撥：注意到分子分母中的各項係數是一致的，可聯想到比例的等比性質。
解答：∵，∴，由等比性質可得。
例3、點撥：本題考查比例的基本性質，易錯點是由化成比例式時錯成，解題關鍵是運用比例的基本性質，本題還可以運用合比性質求解。
解答：由比例的基本性質得，∴，∴。
例4、點撥：題中條件「cd平分∠acb交ab於d」是至關重要的，聯想到「平行線、角平分線、等腰三角形」這三個關鍵詞之間的關係，可得出△dec是乙個等腰三角形，將所求de長轉換為求ec長。
解答：∵cd平分∠acb交ab於d，de∥bc交ac於e點，∴de＝ec，又∵ad︰db＝2︰3，∴ae︰ec＝2︰3，令ae＝2x，則ec＝3x，由ac＝15可得，解得，∴de＝ec＝。
例5、點撥：注意領會比例尺的含義，此處的尺不是尺子的意思，而是尺度的含義。
解答：∵比例尺為1：8000，長度約為25 cm，即圖中1cm表示實際中的8000cm，∴實際長度應為cm，即2000m，答案選d。
2、經典考題
例6、點撥：根據**分割比約為0.618可知ap約為0.618×10＝6.18，從而可知pb約為10－6.18＝3.12。 解答：d
例7、點撥：由圖1知乙個小菱形的一條對角線的長度為8cm，所以小菱形和大菱形的相似比為1︰11，所以共需小菱形11×11＝121個。 解答：121個。
易錯點例1：錯解：a錯解點撥：相似多邊形必須各邊對應成比例，且各角相等。正解：c
例2：錯解：
錯解點撥：本題是一道開放題，結果不唯一，可以有、、，所以x應有3種不同的結果，而不僅僅只有一種。
正解：、或。
拓展與創新
1、點撥：仿照等比性質的證明方法，令，則可得關於a，b，c的乙個以k為字母係數的三元一次方程組，解這個方程組即可得a，b，c（用字母係數k表示），進而可得。
解答：設，則，解得，
∴10∶3∶7。
2、點撥：由利用比例基本性質可得關於x，y的乙個關係式，從而可得的值。
解答：∵，∴，∴，解得，選a。
3、點撥：本題主要考查比例的等比性質，利用等比性質可直接求解。
解答：∵，∴，且，∴。
4、點撥：如圖所示，由關線的直線傳播性，可得∠aeb＝∠dec，從而有，即，解之即可得旗桿高度。解答：30m。
跟蹤練習答案
1、②、③ 2、1∶4 3、（1）1∶1，1∶2；（2）12∶5，7∶24，19∶7
4、c。 5、，， 6、， 7、c 8、d 9、c 10、b
11、0 12、a 13、8cm和4cm 14、c 15、2或－3
16、 17、、或
18、（1）設，則由得，∴，即（2）證明： ， ∴，即。
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