2015-2016學年湖北省黃岡市高二（下）期末數學試卷（理科）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有乙個選項是符合題目要求的．）
1．已知a=，b=，則a∩b=（ ）
a． b．（0，1） c． d．
2．如表是某廠1﹣4月份用水量（單位：百噸）的一組資料：由散點圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關關係，其線性回歸方程是=﹣0.7x+，則=（ ）
a．10.5 b．5.15 c．5.25 d．5.2
3．若（3x2﹣）n的展開式中含有常數項，則正整數n 取得最小值時常數項為（ ）
a． b．﹣135 c． d．135
4．若f′（x0）=2，則等於（ ）
a．﹣1 b．﹣2 c．1 d．
5．已知隨機變數x服從正態分佈n（2，σ2），其正態分佈密度曲線為函式f（x）的圖象，且f（x）dx=，則p（x＞4）=（ ）
a． b． c． d．
6．設點p是曲線y=ex﹣x+上的任意一點，p點處的切線的傾斜角為α，則角α的取值範圍是（ ）
a．[） b．[0，）∪（） c．[0d．[，）
7．已知f（n）=++…+，則f（k+1）﹣f（k）等於（ ）
a． b．
c． ++﹣ d．﹣
8．若乙個三位數的十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱這個數為「傘數」．現從1，2，3，4，5，6這六個數字中任取3個數，組成無重複數字的三位數，其中「傘數」有（ ）
a．120個 b．80個 c．40個 d．20個
9．下列判斷錯誤的是（ ）
a．若隨機變數ξ服從正態分佈n（1，σ2），p（ξ≤4）=0.79，則p（ξ≤﹣2）=0.21
b．若n組資料（x1，y1）…（xn，yn）的散點都在y=﹣2x+1上，則相關係數r=﹣1
c．若隨機變數ξ服從二項分布：ξ～b（5，），則eξ=1
d．「am2＜bm2」是「a＜b」的必要不充分條件
10．春節期間，「厲行節約，反對浪費」之風悄然吹開，某市通過隨機詢問100名性別不同的居民是否能做到「光碟」行動，得到如下的列聯表：
附：參照附表，得到的正確結論是（ ）
a．在犯錯誤的概率不超過l%的前提下，認為「該市居民能否做到『光碟』與性別有關」
b．在犯錯誤的概率不超過l%的前提下，認為「該市居民能否做到『光碟』與性別無關」
c．有90%以上的把握認為「該市居民能否做到『光碟』與性別有關」
d．有90%以上的把握認為「該市居民能否做到『光碟』與性別無關」
11．給出下列四個命題：
①f（x）=x3﹣3x2是增函式，無極值．
②f（x）=x3﹣3x2在（﹣∞，2）上沒有最大值
③由曲線y=x，y=x2所圍成圖形的面積是
④函式f（x）=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線，則實數a的取值範圍是（﹣∞，2）
其中正確命題的個數為（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
12．定義在區間[0，a]上的函式f（x）的圖象如圖所示，記以a（0，f（0）），b（a，f（a）），c（x，f（x））為頂點的三角形的面積為s（x），則函式s（x）的導函式s′（x）的圖象大致是（ ）
a． b． c． d．
二、填空題（每小題5分，共20分）
13．下面是關於複數z=的四個命題：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共軛複數為1+i，p4：z的虛部為﹣1．
其中的真命題為 ．
14．某校開設9門課程供學生選修，其中a，b，c3門課由於上課時間相同，至多選1門，若學校規定每位學生選修4門，則不同選修方案共有種．
15．二維空間中圓的一維測度（周長）l=2πr，二維測度（面積）s=πr2；三維空間中球的二維測度（表面積）s=4πr2，三維測度（體積）v=πr3；四維空間中「超球」的三維測度v=8πr3，則猜想其四維測度w= ．
16．已知f（x）=x3+x，x∈r，若至少存在乙個實數x使得f（a﹣x）+f（ax2﹣1）＜0成立，a的範圍為 ．
三、解答題（本大題共5小題，70分）
17．已知：全集u=r，函式的定義域為集合a，集合b=
（1）求ua；
（2）若a∪b=a，求實數a的範圍．
18．已知函式f（x）=（a、b為常數），且f（1）=，f（0）=0．
（ⅰ）求函式f（x）的解析式；
（ⅱ）判斷函式f（x）在定義域上的奇偶性，並證明；
（ⅲ）對於任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m4x恆成立，求實數m的取值範圍．
19．甲、乙兩位小學生各有2023年奧運吉祥物「福娃」5個（其中「貝貝」、「晶晶」、「歡歡」、「迎迎」和「妮妮各乙個」），現以投擲乙個骰子的方式進行遊戲，規則如下：當出現向上的點數是奇數時，甲贏得乙乙個福娃；否則乙贏得甲乙個福娃，規定擲骰子的次數達9次時，或在此前某人已贏得所有福娃時遊戲終止．記遊戲終止時投擲骰子的次數為ξ
（1）求擲骰子的次數為7的概率；
（2）求ξ的分布列及數學期望eξ．
20．一家公司計畫生產某種小型產品的月固定成本為1萬元，每生產1萬件需要再投入2萬元，設該公司乙個月內生產該小型產品x萬件並全部銷售完，每萬件的銷售收入為4﹣x萬元，且每萬件國家給予補助2e﹣﹣萬元．（e為自然對數的底數，e是乙個常數）
（ⅰ）寫出月利潤f（x）（萬元）關於月產量x（萬件）的函式解析式
（ⅱ）當月產量在[1，2e]萬件時，求該公司在生產這種小型產品中所獲得的月利潤最大值（萬元）及此時的月生成量值（萬件）．（注：月利潤=月銷售收入+月國家補助﹣月總成本）
21．已知函式．
（ⅰ）求函式f（x）的單調區間；
（ⅱ）證明：若a＜5，則對任意，有．
四、選考題（本題滿分10分）（請在以下甲、乙、丙三個選考題中任選乙個作答，多答則以第乙個計分）[選修4-1：幾何證明選講]
22．如圖，ab是⊙o的直徑，ac是⊙o的切線，bc交⊙o於點e．
（ⅰ）若d為ac的中點，證明：de是⊙o的切線；
（ⅱ）若oa=ce，求∠acb的大小．
[選修4-4：座標系與引數方程]
23．已知曲線c的引數方程是（α為引數），直線l的引數方程為（t為引數），
（1）求曲線c與直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線c相交於p，q兩點，且|pq|=，求實數m的值．
[選修4-5：不等式選講]
24．設函式f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3
（2）如果x∈r，f（x）≥2，求a的取值範圍．
2015-2016學年湖北省黃岡市高二（下）期末數學試卷（理科）
參***與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有乙個選項是符合題目要求的．）
1．已知a=，b=，則a∩b=（ ）
a． b．（0，1） c． d．
【考點】交集及其運算．
【分析】由題設條件知a=，b=，由此能夠得到a∩b的值．
【解答】解：∵，
∴=．故選a．
2．如表是某廠1﹣4月份用水量（單位：百噸）的一組資料：由散點圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關關係，其線性回歸方程是=﹣0.7x+，則=（ ）
a．10.5 b．5.15 c．5.25 d．5.2
【考點】線性回歸方程．
【分析】計算樣本中心，代入回歸方程得出．
【解答】解： =， =3.5．
∴3.5=﹣0.7×2.5+，解得=5.25．
故選c．
3．若（3x2﹣）n的展開式中含有常數項，則正整數n 取得最小值時常數項為（ ）
a． b．﹣135 c． d．135
【考點】二項式定理的應用．
【分析】通過二項展開式的通項公式，令x的次數為0即可求得正整數n取得最小值時常數項．
【解答】解：∵=，
∴2n﹣5r=0，又n∈n*，r≥0，
∴n=5，r=2時滿足題意，此時常數項為：；
故選c．
4．若f′（x0）=2，則等於（ ）
a．﹣1 b．﹣2 c．1 d．
【考點】極限及其運算．
【分析】首先應該緊扣函式在一點導數的概念，由概念的應用直接列出等式，與式子對比求解．
【解答】解析：因為f′（x0）=2，由導數的定義
即=2=﹣1
所以答案選擇a．
5．已知隨機變數x服從正態分佈n（2，σ2），其正態分佈密度曲線為函式f（x）的圖象，且f（x）dx=，則p（x＞4）=（ ）
a． b． c． d．
【考點】正態分佈曲線的特點及曲線所表示的意義．
【分析】隨機變數x服從正態分佈n（2，σ2），所以μ=2，即函式f（x）的圖象關於直線x=2對稱，因為f（x）dx=，所以p（0＜x≤2）=，利用圖象的對稱性，即可得出結論．
【解答】解：因為隨機變數x服從正態分佈n（2，σ2），所以μ=2，即函式f（x）的圖象關於直線x=2對稱，
因為f（x）dx=，所以p（0＜x≤2）=，
所以p（2＜x≤4）=，
所以p（x＞4）==，
故選：a．
6．設點p是曲線y=ex﹣x+上的任意一點，p點處的切線的傾斜角為α，則角α的取值範圍是（ ）
a．[） b．[0，）∪（） c．[0d．[，）
【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．
【分析】求函式的導數，利用導數的幾何意義結合三角函式的圖象和性質進行求解即可．
【解答】解：函式的導數f′（x）=ex﹣＞﹣，
即切線的斜率滿足k=tanα＞﹣，
則α∈[0，）∪（），
故選：b
7．已知f（n）=++…+，則f（k+1）﹣f（k）等於（ ）
a． b．
c． ++﹣ d．﹣
【考點】函式的值．
【分析】先分別求出f（k+1），f（k），由此能求出f（k+1）﹣f（k）．
【解答】解：∵f（n）=++…+，
∴f（k+1）=+…+++++
f（k）=
∴f（k+1）﹣f（k）=+．
故選：c．
8．若乙個三位數的十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱這個數為「傘數」．現從1，2，3，4，5，6這六個數字中任取3個數，組成無重複數字的三位數，其中「傘數」有（ ）
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