例6 的內切圓分別切三邊於,點是的乙個內點，的內切圓也在點與邊相切，並與分別相切於點，證明：是圓內接四邊形.
證明：若，則，是的對稱軸，因而四邊形是圓內接四邊形.
若不平行，設的延長線交於，直線截，由梅涅勞斯定理，有，又，即，
又因為,所以,
又,即,由梅涅勞斯定理，三點共線，
於是,有割線定理的逆定理，有四點共圓.
有四點共圓.
注：本例是由圓冪定理的逆定理結合梅涅勞斯定理定理及逆定理求證四點共圓.
例7 已知點是內一點，滿足：
,把沿方向平移至
，求證：五點共圓.
證明：連線,因為,所以,
在四邊形中，由廣義的托勒密定理，有, 即
1）在四邊形中，由廣義的托勒密定理，有,即
2）由,有.即.
由已知條件知，不等式(3)取到等號，從而不等式(1)、(2)必須同時取到等號，即
，，由托勒密定理的逆定
理，知四邊形是圓內接四邊形，且四邊形是圓內接四邊形，故
五點共圓.
注：本題是利用托勒密定理的逆定理證明四點共圓，從而證明五點共圓的.
例4為內任意一點，在內作三條線使得
,且求證：四點共圓.
證明：設為的內心，連線.
因為,所以.
又,所以，於是，同理,
從而，,即四點共圓.
注：找到某一點，證明四點到這一點的距離相等，則此四點共圓，這即為利用圓的定義證明
四點共圓的一種方法.
3. 設的外接圓為，過點的圓非別與交於點，直線分
別與交於不同於的點,過分別作的切線，與直線分別交於點
，證明：的交點在上.
證明：設與交於點，因為,所以,於是
.從而與的外接圓切於點，因此.
設的外接圓為，若,因為,所以與內切.
若,設在直線同側.因為,從而四點共圓.
於是是與的交點.設在直線的異側，有
,仍有四點共圓，於是是與
的交點.
類似的，設與交於點，若，則與內切，若，則是
與的交點，從而.
四點共圓基本性質及證明
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