瑞泉中學2013級文科實驗年級考練（7）
數學試題（文科）
瑞泉中學張振榮
2012.9.23
第卷（選擇題共50分）
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有乙個是符合題目要求的（本大題共10小題，每小題5分，共50分）．
1．複數，，則複數的虛部為（ ）
a．2 bc． d．
2．已知集合a=，b=()，對映滿足：當時，；任取，若，則有．則稱對映是乙個「優對映」．例如：用表1表示的對映是乙個「優對映」．
表1表2
（1）已知表2表示的對映是乙個「優對映」，請把表2補充完整．
（2）若對映是「優對映」，且方程的解恰有3個，則這樣的「優對映」的個數是
15.（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
a．（幾何證明選講選做題）如圖，已知的兩條直角邊ac，bc的長分別為3cm，4cm，以ac為直徑作圓與斜邊ab交於點d，則bd的長為
b．（不等式選講選做題）關於x的不等式的解集為空集，則實數a的取值範圍是
c．（座標系與引數方程選做題）已知極座標的極點在直角座標系的原點o處，極軸與x軸的正半軸重合，曲線c的引數方程為（為引數），直線l的極座標方程為．點p在曲線c上，則點p到直線l的距離的最小值為
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（本大題共6小題，共75分）．
16．（本小題滿分12分）
三角形的三個內角a、b、c所對邊的長分別為、、，設向量，若//．
（）求角b的大小；
（）求的取值範圍．
17．（本小題滿分12分）
如圖，fd垂直於矩形abcd所在平面，ce//df，．
（ⅰ）求證：be//平面adf；
（ⅱ）若矩形abcd的乙個邊ab =，ef =，則另一邊bc的長為何值時，三稜錐f-bde的體積為？
18．（本小題滿分12分）
設點p的座標為，直線l的方程為．請寫出點p到直線l的距離，並加以證明．
19．（本小題滿分12分）
某縣為增強市民的環境保護意識，面向全縣徵召義務宣傳志願者.現從符合條件的志願者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）分別求第3，4，5組的頻率.
（2）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志願者參廣場的宣傳活動，應從第3，4，5組各抽取多少名志願者？
（3）在（2）的條件下，該縣決定在這6名志願者中隨機抽取2名志願者介紹宣傳
經驗，求第4組至少有一名志願者被抽中的概率.
20．（本小題滿分13分）
已知圓c1的方程為，定直線l的方程為．動圓c與圓c1外切，且與直線l相切．
（ⅰ）求動圓圓心c的軌跡m的方程；
（）斜率為k的直線m與軌跡m相切於第一象限的點p，過點p作直線m的垂線恰好經過點a（0，6），並交軌跡m於異於點p的點q，記為poq（o為座標原點）的面積，求的值．
21．（本小題滿分14分）
已知函式f(x)= x－ax + (a－1)，．
(ⅰ) 若，討論函式的單調性；
（）已知a =1，，若數列的前n項和為，證明：
．第卷（選擇題共50分）
一、選擇題：
cbba dbab db
第卷（非選擇題共100分）
二、填空題：
11． ；12． 30 ；13．；14．（1） 2，4，1 ，（2） 10 ；
三、解答題：
16．（本小題滿分12分）
解（）由//知，即得，據餘弦定理知
得6分（）
9分因為，所以，得————10分
所以，得，即得的取值範圍為12分
17．（本小題滿分12分）
解（ⅰ）過點e作cd的平行線交df於點m，連線am．
因為ce//df，所以四邊形cemd是平行四邊形．可得em = cd且em //cd，於是四邊形bema也是平行四邊形，所以有be//am，而直線be在平面adf外，所以be//平面adf6分
（ⅱ）由ef =，em = ab =，得fm = 3且．
由可得fd = 4，從而得de = 2．————8分
因為，，所以平面cdfe．
所以10分
因為，，所以．
綜上，當時，三稜錐f-bde的體積為．————12分
18．（本小題滿分12分）
解：點p到直線l的距離公式為． ————3分
證法1：過點p作直線l的垂線，垂足為h．若a = 0，則直線l的方程為，此時點p到直線l的距離為，而，可知結論是成立的5分
若，則直線ph的斜率為，方程為，與直線l的方程聯立可得
解得，9分據兩點間距離公式得
．12分
證法2：若b = 0，則直線l的方程為，此時點p到直線l的距離為
；若，則直線l的方程為，此時點p到直線l的距離為
；若，，過點p作y軸的垂線，交直線l於點q，過點p作直線l於y軸的垂線，交直線l於點q，設直線l的傾斜角為，則．
因為， ，
所以，．綜上，．
證法３：過點p作直線l的垂線，垂足為h．則直線ph的乙個方向向量對應於直線l的乙個法向量，而直線l的乙個法向量為，又線段ph的長為d，所以
或設點h的座標為，則，可得
把點h的座標代入直線l的方程得
整理得，解得．
證法４：過點p作直線l的垂線，垂足為h．在直線l上任取一點q，直線ph的乙個方向向量為，據向量知識，向量在向量上的投影的絕對值恰好是線段ph的長，因此
因為，而點滿足，所以．因此．
19．（本小題滿分12分）
19．（本小題滿分12分）
解:(ⅰ) 由題設可知,第3組的頻率為0.06×5=0.3,
第4組的頻率為0.04×5=0.2,
第5組的頻率為0.02×5=0.1.
(ⅱ) 第3組的人數為0.3×100=30,
第4組的人數為0.2×100=20,
第5組的人數為0.1×100=10.
因為第3,4,5組共有60名志願者,所以利用分層抽樣的方法在60名志願者中抽取6名志願者,每組抽取的人數分別為:
第3組:×6=3; 第4組:×6=2; 第5組:×6=1.
所以應從第3,4,5組中分別抽取3人,2人,1人.
(ⅲ)記第3組的3名志願者為a1,a2,a3,第4組的2名志願者為b1,b2,第5組的1名志願者為c1.
則從6名志願者中抽取2名志願者有:
(a1,a2), (a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a3,b1),(a3,b2),
(a3,c1),(b1,b2),(b1,c1),(b2,c1),共有15種.
其中第4組的2名志願者b1,b2至少有一名志願者被抽中的有:
(a1,b1), (a1,b2), (a2,b1), (a2,b2), (a3,b1), (a3,b2), (b1,b2), (b1,c1), (b2,c1),共有9種,
所以第4組至少有一名志願者被抽中的概率為
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