江蘇省南京市2012屆高三年級
第二次模擬考試（數學）word版
（2012.03）
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分
1．已知集合，，若，則實數的取值範圍是
2、已知 ，其中，為虛數單位，則 。
3、某單位從4名應聘者a、b、c、d中招聘2人，如果這4名應聘者被錄用的機會均等，則a，b兩人中至少有1人被錄用的概率是
4、某日用品按行業質量標準分成王五個等級，等級係數依次為1，2，3，4，5.現從一批該日用品中隨機抽取200件，對其等級係數進行統計分析，得到頻率的分布如下
則在所抽取的200件日用品中，等級係數的件數為
5、已知變數滿足約束條件，則目標函式的取值範圍是
6、已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率
7、已知圓的經過直線與座標軸的兩個交點，又經過拋物線的焦點，則圓的方程為 。
8、設是等差數列的前項和。若，則 。
9、已知函式的部分圖象如圖所示，則的值為
10、在如圖所示的流程圖中，若輸入的值為，則輸出a的值為
11、一塊邊長為10的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然後用餘下的四個全等的等腰三角形作側面，以它們的公共頂點為頂點，加工成乙個如圖所示的正四稜錐形容器。當時，該容器的容積為
12、下列四個命題
①「」的否定；
②「若則」的否命題；
③在中，「「」的充分不必要條件；
④「函式為奇函式」的充要條件是「」。
其中真命題的序號是把真命題的序號都填上）
13、在面積為的中，分別是的中點，點在直線上，則
的最小值是
14、已知關於的方程有唯一解，則實數的值為
二、解答題
15．（本小題滿分14分）
設向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ為銳角．
（1）若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；
（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值．
16．（本小題滿分14分）
如圖，四邊形abcd是矩形，平面abcd⊥平面bce，be⊥ec．
（1）求證：平面aec⊥平面abe；
（2）點f在be上．若de//平面acf，求的值
17．（本小題滿分14分）
如圖，在平面直角座標系xoy中，橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓c的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．
（1）求橢圓c的方程；
（2）已知點p(0，1)，q(0，2)．設m，n是橢圓c上關於y軸對稱的不同兩點，直線pm與qn相交於點t，求證：點t在橢圓c上．
18．（本小題滿分16分）
某單位設計乙個展覽沙盤，現欲在沙盤平面內，布設乙個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現有材料，邊bc，cd用一根5公尺長的材料彎折而成，邊ba，ad用一根9公尺長的材料彎折而成，要求∠a和∠c互補，且ab＝bc．
（1）設ab＝x公尺，cosa＝f(x)，求f(x)的解析式，並指出x的取值範圍；
（2）求四邊形abcd面積的最大值．
19．（本小題滿分16分）
函式f(x)＝∣ex－bx∣，其中e為自然對數的底．
（1）當b＝1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程；
（2）若函式y＝f(x)有且只有乙個零點，求實數b的取值範圍；
（3）當b＞0時，判斷函式y＝f(x)在區間(0，2)上是否存在極大值．若存在，求出極大值及相應實數b的取值範圍．
20．（本小題滿分16分）
已知數列滿足：a1＋＋ ＋…＋＝n2＋2n（其中常數λ＞0，n∈n*）．
（1）求數列的通項公式；
（2）當λ＝4時，是否存在互不相同的正整數r，s，t，使得ar，as，at成等比數列？若存在，給出r，s，t滿足的條件；若不存在，說明理由；
（3）設sn為數列的前n項和．若對任意n∈n*，都有(1－λ)sn＋λan≥2λn恆成立，求實數λ的取值範圍．
21．a．選修4—1：幾何證明選講
如圖，已知ad，be，cf分別是△abc三邊的高，h是垂心，ad的延長線交△abc的外接圓於點g．求證：dh＝dg．
b．選修4—2：矩陣與變換
設矩陣m＝．
（1）求矩陣m的逆矩陣m－1；
（2）求矩陣m的特徵值．
21c．選修4—4：座標系與引數方程
在平面直角座標系xoy中，判斷曲線c：(為引數）與直線l：(t為引數)是否有公共點，並證明你的結論．
21d．選修4—5：不等式選講
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：．
22．甲、乙兩班各派三名同學參加青奧知識競賽，每人回答乙個問題，答對得10分，答錯得0分．假設甲班三名同學答對的概率都是，乙班三名同學答對的概率分別是，，，且這六個同學答題正確與否相互之間沒有影響．
（1）用x表示甲班總得分，求隨機變數x的概率分布和數學期望；
（2）記「兩班得分之和是30分」為事件a，「甲班得分大於乙班得分」為事件b，求事件a，b同時發生的概率．
23．記(1＋)(1＋)…(1＋)的展開式中，x的係數為an，x2的係數為bn，其中 n∈n*．
（1) 求an；
（2）是否存在常數p，q(p＜q) ，使bn＝(1＋)(1＋) 對n∈n*，n≥2恆成立？證明你的結論．
南京市2023年屆高三第二次模擬考試參***
一、填空題
1．(－∞，02．434．20
5．[－4，267．x2＋y2－x－y－2＝0 8．
9．31011．4812．①②
13．214．1
15.解：（1） 因為a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcos2分
所以 (sinθ＋cosθ)2＝1＋2 sinθcosθ＝．
又因為θ為銳角，所以sinθ＋cos5分
（2） 解法一因為a∥b，所以tanθ＝27分
所以 sin2θ＝2 sinθcosθ＝＝＝，
cos2θ＝cos2θ－sin211分
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ
14分解法二因為a∥b，所以tanθ＝27分
所以 sinθ＝，cosθ＝．
因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝， cos2θ＝cos2θ－sin211分
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ
14分16．（本小題滿分14分）
如圖，四邊形abcd是矩形，平面abcd⊥平面bce，be⊥ec．
（1）求證：平面aec⊥平面abe；
（2）點f在be上．若de//平面acf，求的值
解：（1）證明：因為abcd為矩形，所以ab⊥bc．
因為平面abcd⊥平面bce，
平面abcd∩平面bce＝bc，ab平面abcd，
所以ab⊥平面bce3分
因為ce平面bce，所以ce⊥ab．
因為ce⊥be，ab平面abe，be平面abe，ab∩be＝b，
所以ce⊥平面abe6分
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