直線與圓錐曲線問題的認知與求解
一、主力題型：主要類別與解題策略
1．典型「對稱」問題
練習：1．雙曲線c與橢圓有相同的焦點，直線為c的一條漸近線.
(1)求雙曲線c的方程；
(2)過點p(0,4)的直線交雙曲線c於a、b兩點，交軸於q點（點q與c的頂點不重合），當時，求q點座標.
2．（2010·陝西）如圖，橢圓c：的頂點為焦點為
.(i)求橢圓c的方程；
(ii)設n是過原點的直線，是與n垂直相交於
點p，並且與橢圓相交於a、b兩點的直
線，是否存在上述直線使
成立？若存在，求出的方程；若不存在,請說明理由.
分析：在獲得橢圓c的方程之後，所面臨的問題顯然屬於關於直線與橢圓c的交點a，b「對稱」的型別. 因此，「巨集觀」的解題思路，乃是人們熟悉的「實設半解」的「三部曲」；而「微觀」的解題細節，卻是如何發現題設條件之下的「關於交點a、b的關係式」，…….
解：(i)由得
由又∴由①、②、③解得
∴橢圓c的方程為.
(ii)設存在直線滿足上述條件.
設(i)當直線不垂直於軸時，設的方程為 ④
則由 ⑤
又注意到
∴即由此得再將④代入橢圓c的方程得
∴由題意得恆成立.
且∴由⑥、⑦得
∴ ⑤代入⑧得 ，矛盾.
即此時滿足題設條件的直線不存在.
(ii)當直線垂直於軸時，由得直線的方程為
當，∴當時，同理可得
即此時滿足題設條件的直線不存在.
於是綜合(i)、(ii)知，滿足上述題設條件的直線不存在.
點評：與尋常「對稱型」問題比較，本題乙個明顯的變化是「已知條件的化明（明朗）為暗（隱蔽）」.在這裡，如何聯合利用已知條件，消去具有引數作用的點p，獲取直接反映（直線與橢圓的）交點a、b關係的等式，乃是解題的關鍵環節，也是命題者刻意求變的匠心獨具.
3．已知橢圓c：，過點p (,0)做橢圓c的兩條切線pm、pn，切點分別為m、n，△pmn為等邊三角形。
（1） 求橢圓c的離心率；
（2） 過橢圓c的左焦點f作斜率為1的直線l與橢圓c交於a、b兩點，d為橢圓上任意一點，求證：存在，使得成立。
略解：（1）…… △=0
（2）由（1）得橢圓c的方程為 ①
設 .
設直線l的方程為
②代入①得
…… △>0 …… 顯然成立
∴④注意到向量不共線，故存在使得
∴ 由（※）得
又注意到點d在橢圓c上 ⑥
∴⑤代入⑥得 ⑦
而a、b同樣在橢圓c上
∴將④、⑧代入⑦得
因此由⑨知，存在，使 ⑩
因此由⑩與（※）知，存在，使得成立.
2．「準對稱」問題
練習： 1．設橢圓為橢圓的焦點，它到直線的距離及橢圓的離心率均為，直線與軸交於點，與橢圓c交於相異兩點a、b，且
(1)求橢圓方程；
(2)若求m的取值範圍.
2．如圖所示，b點座標為點座標為垂足為h，且
(1)若求以b、c為焦點並且經過點a的橢圓的離心率；
(2)同在以b、c為焦點的橢圓上，當時，求橢圓的離心率的取值範圍.
3.「不對稱」問題
練習：1．一條斜率為1的直與離心率為的雙曲線交於p、q兩點，直線與軸交於r點，且
(1)求雙曲線e的方程；
(2)若f點是雙曲線e的右焦點，m、n是雙曲線上兩點，且的取值範圍.
2．如圖所示，已知過點的直線與橢圓交於不同的兩點a、b，點m是弦ab的中點.
(1)若求點p的軌跡方程；
(2)求的取值範圍.
3．已知橢圓的兩個焦點分別為過點的直線與橢圓相交於a、b兩點，且，
(1)求橢圓的離心率；
(2)求直線ab的斜率；
(3)設點c與點a關於座標原點對稱，直線上有一點在△af1c的外接圓上，求的值.
二、近年試題：變革方向與應對手段
變革的亮點：變革「孤獨點」與「二代弦」（二代線段）
i．「孤獨點」問題
練習：1．已知橢圓的離心率為，過右焦點f的直線與c相交於a、b兩點. 當的斜率為1時，座標原點o到的距離為.
(1)求a、b的值；
(2)c上是否存在點p，使得當繞f轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的p的座標與的方程；若不存在，說明理由.
解：(1)
(2) 由(1)知c的方程為
設(i)當不垂直於軸時，設直線的方程為
②代入由題設得
又由題設得
∴⑤代入①並利用
∴③、④代入⑥得
∴由③得點
∴當 當
(ii)當
於是綜合(i)、(ii)得，c上存在點
點評：在這裡，曲線c上的點a、b成雙成對，而點p隻身孤影，孤單地承擔著溝通聯絡的重任. 為了便於表述，我們將諸如此類的動點稱之為「孤獨點」.
在這裡，我們對「孤獨點」p的座標處置的手段是：設出→應用→解出（這裡是題目要求）→再應用.
2（09·魯）. 設，在平面直角座標系中，已知向量的軌跡為e.
(1)求軌跡e的方程，並說明該方程所表示曲線的形狀；
(2)已知，證明：存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡e恒有兩個交點a，b，且oa⊥ob（o為座標原點），並求該圓的方程；
(3)已知，設直線與圓相切於與軌跡e只有乙個公共點當r為何值時，取得最大值？並求最大值.
略解：(1)讀者練習.
(2)讀者練習.
(3)由(1)知，軌跡e的方程為
由題設易知直線的斜率存在. 設②
則由直線與圓c相切得
再將②代入①得
又由題設得
∴由③、⑤解得
而當與軌跡e只有乙個公共點b1時，方程④應有兩個相等實根，
∴由韋達定理得
∴由⑥，⑦得
注意到b1在橢圓上，故有
於是，在rt△oa1b1中由⑧，⑨得
其中等號成立的條件為
∴當的最大值1.
點評：在這裡，對「孤獨點」b1座標的處置手段為「設出」→「解出」（表出）→應用（消去）.此為處置「孤獨點」座標的基本手法.
3．已知橢圓的左、右焦點分別為f1、f2，短軸兩個端點為a、b，且四邊形是邊長為2的正方形.
(i)求橢圓的方程；
(ⅱ)若c、d分別是橢圓長軸的左、右端點，動點m滿足md⊥cd，鏈結cm，交橢圓於點p. 證明：為定值；
(ⅲ)在(ⅱ)的條件下，試問軸上是否存在異於點c的定點q，使得以mp為直徑的圓恆過直線dp、mq的交點，若存在，求出點q座標，若不存在，說明理由.
4．已知雙曲線設過點的方向向量.
(1)當直線與雙曲線c的一條漸近線m平行時，求直線的方程及與m的距離；
(2)證明：當時，在雙曲線c的右支上下存在點q，使之到直線的距離為.
ⅱ.「二代弦」（「二代線段」）問題
練習：1．（2010重慶）已知以原點o為中心，為右焦點的雙曲線c的離心率
(i)求雙曲線c的標準方程及其漸近線方程；
(ii)如圖，已知過點與過點
的交點e在雙曲線c上，又直線mn與兩條漸近線分別交於g、h兩點，求的面積（文科：……求的值）
分析：對於(ii)，首先注意到e為雙曲線c上的乙個
「孤獨點」，因此，若以點e的座標的展示為主
線，則解題方向（梗概）的三部曲為：
設出……→應用……→代入，消去……；
其次，若注意到gh為「二代線段」（mn等為「一代線段」 ），則對於點g、h座標的處置策略首選「實設實解」.
解：(i)由題設易得雙曲線c的方程為其漸近線方程為
(ii)設
注意到∴由②、③知點m、n在直線上，
即直線mn的方程為
於是將④解得
將④得再設直線mn與軸的交點為q，則，
∴點評：這裡的求解，運用了「孤獨點」問題與「二代弦（線段）」問題的通用的解題方略. 其實，若注意到已知條件與既定目標關於直線mn與雙曲線的漸近線的交點g、h對稱，亦可運用「實設半解」的方略求解，大家不妨一試.
2．（2010·全國i）已知拋物線的焦點為f，過點k(-1,0)的直線與c相交於a、b兩點，點a關於x軸的對稱點為d.
(i)證明：點f在直線bd上；
(ii)設的內切圓m的方程.
分析：考察試題的型別，乃是人們熟悉的直線與圓錐曲線相交問題. 於是，人們不同的認知基礎或不同的審題角度，便引出可圈可點的不同解法.
直線與圓錐曲線
主備人 段柏嬌把關人 李德道編號19 一學習目標 1 掌握直線與圓錐曲線的位置關係的判定方法，能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關係的問題轉化為研究方程組的解的問題 2 會利用直線與圓錐曲線的方程所組成的方程組消去乙個變數，將交點問題問題轉化為一元二次方程根的問題，結合根與係數關係及判別式解決問題 二 ...
24直線與圓錐曲線
直線與圓錐曲線聯絡在一起的綜合題在高考中多以高檔題 壓軸題出現，主要涉及位置關係的判定，弦長問題 最值問題 對稱問題 軌跡問題等.突出考查了數形結合 分類討論 函式與方程 等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力 計算能力較高，起到了拉開考生 檔次 有利於選拔的功能.案例 例1 如圖...
直線與圓錐曲線練習
一 選擇題 每小題5分，共25分 1 過點p 0,2 與拋物線y2 2x只有乙個公共點的直線有 a 0條 b 1條 c 2條 d 3條 答案 d 2 已知點f1，f2分別是雙曲線 1 a 0，b 0 的左 右焦點，過f1且垂直於x軸的直線與雙曲線交於a，b兩點，若 abf2為正三角形，則該雙曲線的離...