直線與圓錐曲線的位置關係
□ 江蘇濱海中學沈學超
直線與圓錐曲線特別是橢圓、雙曲線、拋物線的位置關係歷來是解幾中的重點問題之一．為幫助學生系統掌握這部分知識，現將其基礎知識歸納於下：
１．直線和橢圓的位置關係（當直線的斜率存在時）：
（１）有兩個公共點；
（２）有乙個公共點；
（３）無公共點．
例１ 直線與橢圓恒有公共點，求m的取值範圍．
分析本題中直線和橢圓恒有公共點，這說明將直線方程代入橢圓方程並整理後所得的一元二次方程的根的判別式≥０，然後根據二次函式的有關知識來解決，也可用數形結合的方法解決．
解法一將直線方程代入橢圓方程並整理後，得
∵直線與橢圓恒有公共點，
對一切都成立，
即恆成立，
恆成立，
恆成立，的最大值，
．解法二 ∵點（０，１）在直線上，直線與橢圓恒有公共點，∴點（０，１）必在橢圓內或橢圓上，．
２．直線與雙曲線的位置關係（當直線的斜率存在時）：
（１）有兩個公共點；
（２）有乙個公共點或直線與漸近線平行；
（３）無公共點或直線為兩條漸近線．
例２ 若無論b取任何實數，直線y=kx+b與雙曲線x２－２y２＝１均無公共點，求k的取值範圍．
分析由於直線和雙曲線無公共點，則可能有兩種情況：
（１）將直線方程y=kx+b代入雙曲線方程x２－２y２＝１代入並整理後所得的一元二次方程的根的判別式；
（２）直線可能為兩條漸近線，k就等於它們的斜率．
解將直線方程y=kx+b代入雙曲線方程x２－２y２＝１並整理後得，若２k２－１＝０即，由於雙曲線的兩條漸近線方程為，則此時直線與漸近線平行或重合，直線與雙曲線不恆無公共點；若２k２－１≠０，即且，則∵對任意實數b此不等式恆成立，．
第28號 8 4雙曲線的簡單幾何性質 二
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