課題：8．4雙曲線的簡單幾何性質
教學目的：
1．使學生掌握雙曲線的範圍、對稱性、頂點、漸近線等幾何性質
2．掌握標準方程中的幾何意義
3．並使學生能利用上述知識進行相關的論證、計算、作雙曲線的草圖以及解決簡單的實際問題
教學重點：雙曲線的漸近線及其得出過程
教學難點：漸近線幾何意義的證明
授課型別：新授課
課時安排：1課時
教具：多**、實物投影儀
內容分析：
本節知識是講完了雙曲線及其標準方程之後，反過來利用雙曲線的方程研究雙曲線的幾何性質它是教學大綱要求學生必須掌握的內容，也是高考的乙個考點用座標法研究幾何問題，是數學中乙個很大的課題，它包含了圓錐曲線知識的眾多方面，這裡對雙曲線的幾何性質的討論以及利用性質來解題即是其中的乙個重要部分
座標法的教學貫穿了整個「圓錐曲線方程」一章，是學生應重點掌握的基本數學方法運動變化和對立統一的思想觀點在第8章知識中得到了突出體現，我們必須充分利用好這部分教材進行教學
利用圖形啟發引導學生理解漸近線的幾何意義、弄通證明的關鍵；漸近線的位置、漸近線與雙曲線張口之間的關係是學生學習離心率的概念、搞懂離心率與雙曲線形狀之間的關係的關鍵；要突破第二定義得出過程這個難點
本節內容類似於「橢圓的簡單的幾何性質」，教學中也可以與其模擬講解，主要應指出它們的聯絡與區別對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質，我們常利用它作出雙曲線的草圖，為說明這一點，教學時可以適當補充一些例題和習題講解完雙曲線的漸近線後，要注意說明：反過來以為漸近線的雙曲線方程則是
對雙曲線離心率進行教學時要指明它的大小反映的是雙曲線的張口大小，而橢圓離心率的大小反映的是橢圓的扁平程度同橢圓一樣，雙曲線有兩種定義，教材上以例3的教學來引出它，我們講課時要充分注意到此例題與後面的定義在教學上的邏輯關係，突出考慮學生認知心理的變化規律
本節分三個課時：第一課時主要講解雙曲線的範圍、對稱性、頂點、漸近線等幾何性質，並補充一道變式例題；第二課時主要內容為離心率、教材中的例1、例2及一道變式例題；第三課時主要講解教材中的例3、雙曲線另乙個定義、準線概念
教學過程：
一、複習引入：
二、講解新課：
1．範圍、對稱性
由標準方程可得，當時，y才有實數值；對於y的任何值，x都有實數值這說明從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線
雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心
2．頂點
頂點： 特殊點：
實軸：長為2a, a叫做半實軸長虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長
講述：結合圖形，講解頂點和軸的概念，在雙曲線方程中，令y=0得，故它與x軸有兩個交點，且x軸為雙曲線的對稱軸，所以與其對稱軸的交點，稱為雙曲線的頂點(一般而言，曲線的頂點均指與其對稱軸的交點)，而對稱軸上位於兩頂點間的線段叫做雙曲線的實軸長，它的長是2a.
在方程中令x=0得，這個方程沒有實數根，說明雙曲線和y軸沒有交點。但y軸上的兩個特殊點，這兩個點在雙曲線中也有非常重要的作用把線段叫做雙曲線的虛軸，它的長是2b 要特別注意不要把虛軸與橢圓的短軸混淆
雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異
3．漸近線
過雙曲線的兩頂點，
作y軸的平行線，經過
作x軸的平行線，四條直線圍
成乙個矩形矩形的兩條對角線所在
直線方程是（），
這兩條直線就是雙曲線的漸近線
分析：要證明直線（）
是雙曲線的漸近線，即要證明
隨著x的增大，直線和曲線越來越靠攏
也即要證曲線上的點到直線的距離｜mq｜
越來越短，因此把問題轉化為計算｜mq｜
但因｜mq｜不好直接求得，因此又把問題
轉化為求｜mn｜ 最後強調，對圓錐曲線
而言，漸近線是雙曲線具有的性質 ＝（）
4．等軸雙曲線
a=b即實軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線
結合圖形說明：a=b時，雙曲線方程變成(或，它的實軸和都等於2a(2b)，這時直線圍成正方形，漸近線方程為它們互相垂直且平分雙曲線的實軸和虛軸所成的角
5．共漸近線的雙曲線系
如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那麼此雙曲線方程就一定是：或寫成
6．雙曲線的草圖
利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準確地畫出雙曲線的草圖
具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內任意一點的位置，然後過這兩點並根據雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最後利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線
焦點在y軸的情況同學們自己研究
7．離心率
概念：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率
範圍：雙曲線形狀與e的關係：
，因此e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊
(1)雙曲線的形狀張口隨著漸近線的位置變化而變化；
(2)漸近線的位置(傾斜)情況又受到其斜率制約
利用計算機動畫先演示出「e的大小」與「開口的闊窄」的關係，能讓學生對此變化規律先形成直觀理解；然後再用代數方法邊板書邊推導，這樣就可化難為易，使學生對此規律有更深刻清晰的理解這樣做將有助於實在本節的這個難點
8．離心率相同的雙曲線
(1)計算雙曲線的離心率；
(2)離心離為的雙曲線一定是嗎？舉例說明如果存在很多的話，它們能否用乙個特有的形式表示呢？
(3)離心率為的雙曲線有多少條？
分析：的關係式，並從中發現只要實現半軸和虛半軸各與a=2,b=3有相同的比k：1(k>0)的雙曲線，其離心率e都是
9．共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線如與
注意的區別：三量a,b,c中a,b不同（互換）c相同
通過分析曲線發現二者其具有相同的漸近線此即為共軛之意
1） 性質：共用一對漸近線雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上
2） 確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變為-1
3） 共用同一對漸近線的雙曲線的方程具有什麼樣的特徵：可設為，當時交點在x軸，當時焦點在y軸上
三、講解範例：
例1. 求雙曲線的實半軸長和虛半軸長,焦點座標,離心率.
解: 把方程化為標準方程得,
可得:實半軸長: a=4
虛半軸長: b=3半焦距
焦點座標: (0,-5),(0,5)
離心率:
例二．求下列雙曲線的範圍、焦點、頂點、離心率
（1）（2）
（3）例2.已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為座標軸,它的乙個焦點f（5，0）,且離心率e 可以使方程有相等的實根，求滿足條件的雙曲線方程
例3.已知雙曲線虛軸的乙個端點為m, 兩焦點分別 f1 , f2 , 且, 則雙曲線的離心率為(b )
a． b． c． d．
（參考例題）
例1 求雙曲線的頂點座標、焦點座標，實半軸長、虛半軸長和漸近線方程，並作出草圖
分析：只要緊扣有關概念和方法，就易解答
解：把方程化為標準方程
由此可知，實半軸長a＝1，虛半軸長b＝2．
頂點座標是（－1，0），（1，0）
焦點的座標是(－，0)，(，0)．
漸近線方程為，即
例2 求與雙曲線共漸近線且過的雙曲線的方程
分析：因所求的雙曲線與已知雙曲線共漸近線，故可先設出雙曲線系，再把已知點代入，求得k的值即可
解：設與共漸近線且過的
雙曲線的方程為
則 ，從而有
所求雙曲線的方程為
例3求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點座標、離心率、漸近線方程．
解：把方程化為標準方程
由此可知，實半軸長a＝4，虛半軸長b＝3．
焦點的座標是(0，－5)，(0，5)．
離心率漸近線方程為，即
例4 雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高55m．選擇適當的座標系，求出此雙曲線的方程(精確到1m)．
分析：本題建立合適的座標系是關鍵。注意到通風塔有三個特殊的截口圓：
上口、下口、最小的乙個截口。顯然，最小截口圓的圓心是雙曲線的中心，直徑是雙曲線的實軸，所以以最小截口直徑所在直線為x軸，圓心為原點建立座標系，則雙曲線的方程具有最簡單的形式。
解：如圖所示，建立直角座標系xoy，使小圓的直徑aa′在x軸上，圓心與原點重合．這時，上、下口的直徑cc′、bb′平行於x軸，且|cc′|=13×2(m)，|bb′|=25×2(m)．
設雙曲線的方程為
令點c的座標為(13，y)，則點b的座標為(25，y－55)．因為點b、c在雙曲線上，所以
① 且 ②
解方程組，得
（負值捨去）
代入方程①，得
化簡得19b2＋275b－18150＝0 ③
解方程③(使用計算器計算)，得
b≈25(m)．
所以所求雙曲線方程為
點評： 這是乙個有實際意義的題目．解這類題目時，首先要解決以下兩個問題：(1)選擇適當的座標系；(2)將實際問題中的條件借助座標係用數學語言表達出來．
四、課堂練習：
1．下列方程中，以x±2y=0為漸近線的雙曲線方程是
答案：a
2_.過點(3,0)的直線與雙曲線4x2-9y2=36只有乙個公共點,則直線共有
(a)1條b)2條c)3條d)4條
答案：c
翰3_.若方程=1表示雙曲線，其中a為負常數，則k的取值範圍是( )
(a)(,-) (b)(,-) (c)(-,) (d翰林匯
答案：b
4_.中心在原點，乙個焦點為(3，0)，一條漸近線方程2x-3y=0的雙曲線方程是
(ab)
(cd)
答案：a
5_.與雙曲線有共同的漸近線，且一頂點為(0，9)的雙曲線的方程是（ ）
12高二數學練習十二 雙曲線幾何性質
高二數學練習 一 選擇題 1 在下列雙曲線中,漸近線為3x 2y 0,且與曲線x2 y2 0不相交的雙曲線是 a 1 b 1 c 1 d 1 2 雙曲線 1的兩條漸近線所夾的銳角是 a 2arctan b 2arctan c 2arctan d 2arctan 3 設，則二次曲線的離心率的取值範圍 ...
雙曲線的簡單幾何性質教學反思
圓錐曲線是高考的熱點和高考試題的壓軸題，主要是對圓錐曲線幾何性質的考查，因此，課堂教學時應重視對圓錐曲線幾何性質的歸納和運用.有效教學要在學生已有認知基礎上，尋找學生最近發展區促進學生更深層面上思維和理解。本節課學習活動是以學生對橢圓幾何性質的認知基礎上進行的，利用方程討論曲線的性質的這種方法，學生...
雙曲線的幾何性質
一 三維目標 1 知識與技能 1 使學生能運用雙曲線的標準方程討論雙曲線的範圍 對稱性 頂點 離心率 漸近線等幾何性質 2 掌握雙曲線標準方程中的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及證明 3 能運用雙曲線的幾何性質解決雙曲線的一些基本問題。2 過程與方法 1 通過與橢圓的性質的模擬，獲得雙曲線的性質...