主講教師：劉楊
【知識概述】
一、雙曲線的概念
平面內動點p與兩個定點f1、f2(|f1f2|＝2c>0)的距離之差的絕對值為常數2a (2a<2c)，則點p的軌跡叫雙曲線．這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距.
二、標準方程與性質
【學前診斷】
1．[難度] 易
雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m
2．[難度] 中
雙曲線方程：＋＝1，那麼k的取值範圍是
3．[難度] 中
若雙曲線－＝1的一條漸近線方程為＋y＝0，則此雙曲線的離心率為________．
【經典例題】
例1．在平面直角座標系xoy中，已知的頂點和，若頂點b在雙曲線的左支上，則
例2．已知f是雙曲線的左焦點，a（1,4），p是雙曲線右支上的動點，則
的最小值為
例3．根據下列條件，求雙曲線方程：
(1)與雙曲線有共同的漸近線，且過點；
(2)與雙曲線有公共焦點，且過點
例4． 中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點f1，f2，且|f1f2|＝，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3∶7.
(1)求這兩曲線方程；
(2)若p為這兩曲線的乙個交點，求cos∠f1pf2的值．
例 5．已知雙曲線的中心在原點，焦點f1、f2在座標軸上，離心率為，且過點p.
（1）求雙曲線方程；
（2）若點m（3，m）在雙曲線上，求證：；
（3）求的面積.
【本課總結】
解題技巧
1．雙曲線中a，b，c的關係
雙曲線中有乙個重要的rt△oab(如右圖)，它的三邊長分別是a、b、c.易見c2＝a2＋b2，若記∠aob＝θ，則e＝＝.
2．雙曲線的定義用代數式表示為||mf1|－|mf2||＝2a，其中2a<|f1f2|，這裡要注意兩點：
(1)距離之差的絕對值；(2)2a<|f1f2|.
這兩點與橢圓的定義有本質的不同：
①當|mf1|－|mf2|＝2a時，曲線僅表示焦點f2所對應的一支；
②當|mf1|－|mf2|＝－2a時，曲線僅表示焦點f1所對應的一支；
③當2a＝|f1f2|時，軌跡是一直線上以f1、f2為端點向外的兩條射線；
④當2a>|f1f2|時，動點軌跡不存在．
3．漸近線與離心率
－＝1 (a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為＝＝＝.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質都表示雙曲線張口的大小．
4. 求雙曲線的方程
求雙曲線的方程，關鍵是求a、b，在解題過程中應熟悉各元素(a、b、c、e)之間的關係，並注意方程思想的應用．若已知雙曲線的漸近線方程為ax±by＝0，可設雙曲線方程為a2x2－b2y2＝λ (λ≠0)．
5．焦點到漸近線的距離等於虛半軸長b.
6．共用漸近線的兩條雙曲線可能是：共軛雙曲線；放大的雙曲線；共軛放大或放大後共軛的雙曲線．所以與雙曲線－＝1共用漸近線的雙曲線的方程可設為－＝t (t≠0)．
7．已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標準方程中的「1」為「0」就得到兩漸近線方程，即方程－＝0就是雙曲線－＝1的兩條漸近線方程．
易錯防範
1．區分雙曲線中的a，b，c大小關係與橢圓a，b，c關係，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.
2．雙曲線的離心率大於1，而橢圓的離心率e∈(0,1)．
3．雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x.
4．若利用弦長公式計算，在設直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況．
5．直線與雙曲線交於一點時，不一定相切，例如：當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交於一點，但不是相切；反之，當直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有乙個交點．
【活學活用】
1．[難度] 易
雙曲線中心在原點，且乙個焦點為f1(－，0)，點p位於該雙曲線上，線段pf1的中點座標為(0,2)，則該雙曲線的方程是
a.－y2＝1 b．x2－＝1 c.－＝1 d.－＝1
2. [難度] 中
某圓錐曲線c是橢圓或雙曲線，若其中心為座標原點，對稱軸為座標軸，且過點a(－2,2)，b，則
a．曲線c可為橢圓也可為雙曲線 b．曲線c一定是雙曲線
c．曲線c一定是橢圓d．這樣的曲線c不存在
3. [難度] 中
已知f為雙曲線－＝1的左焦點，a(1,4)，p是雙曲線右支上的動點，則|pf|＋|pa|的最小值為________．
雙曲線的定義 標準方程及幾何性質
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