雙曲線的簡單幾何性質
一．基本概念
1 雙曲線定義：
①到兩個定點f1與f2的距離之差的絕對值等於定長（＜|f1f2|）的點的軌跡
（（為常數））這兩個定點叫雙曲線的焦點．
②動點到一定點f的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數e(e＞1)時，這個動點的軌跡是雙曲線
這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線
2、雙曲線影象中線段的幾何特徵：
⑴實軸長，虛軸長2b,焦距
⑵頂點到焦點的距離： ，
⑶頂點到準線的距離：；
⑷焦點到準線的距離：
⑸兩準線間的距離:
⑹中結合定義與餘弦定理，將
有關線段、、和角結合起來，
⑺離心率：∈（1，+∞）
⑻焦點到漸近線的距離：虛半軸長
⑼通徑的長是，焦準距，焦引數（通徑長的一半）其中
3 雙曲線標準方程的兩種形式：
①－=1，c=，焦點是f1（－c，0），f2（c，0）
②－=1，c=，焦點是f1（0，－c）、f2（0，c）
4、雙曲線的性質：－=1（a＞0，b＞0）
⑴範圍：|x|≥a，y∈r
⑵對稱性：關於x、y軸均對稱，關於原點中心對稱
⑶頂點：軸端點a1（－a，0），a2（a，0）
⑷漸近線：
①若雙曲線方程為漸近線方程
②若漸近線方程為雙曲線可設為
③若雙曲線與有公共漸近線，可設為
（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）
④特別地當離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，
此時雙曲線為等軸雙曲線，可設為；y=x，y=－x
⑸準線：l1：x=－，l2：x=，兩準線之距為
⑹焦半徑：，（點p在雙曲線的右支上）；
，（點p在雙曲線的右支上）；
當焦點在y軸上時，標準方程及相應性質（略）
⑺與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是
⑻與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是
⑼雙曲線上過焦點的弦，當弦的兩端點在雙曲線的同一支上時，過焦點且垂直於實軸的弦最短，
當弦的兩端點在雙曲線的兩支上時，以實軸長最短。
⑽雙曲線的通徑（即通過焦點且垂直於x軸的弦長）為。
⑾處理雙曲線的中點弦問題常用差分法，即代點相減法。
⑿注意兩類特殊的雙曲線
一類是等軸雙曲線：其主要性質有：，離心率，兩條漸近線互相垂直，等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。
另一類是共軛雙曲線：其主要性質有：它們有共同的漸近線，它們的四個焦點共圓，它們的離心率的倒數的平方和等於1。
等軸雙曲線是乙個方程所對應的幾何圖形，有兩支雙曲線，而互為共軛雙曲線則是兩個方程所對應的幾何圖形，每個方程各對應兩支雙曲線。
2．例題選講
【例1】若在雙曲線（a＞0,b＞0）的右支上時，證明：，
變式1：若在雙曲線（a＞0,b＞0）的左支上時，
證明：,
變式2：（2010江西理）點在雙曲線的右支上，若點a到右焦點的距離等於，則=
解：a=
變式2：（2010江蘇）在平面直角座標系xoy中，雙曲線上一點m，點m的橫座標是3，
則m到雙曲線右焦點的距離是
解：，為點m到右準線的距離，=2，mf=4。
變式3：（09全國ⅱ理）已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交於兩點，若,則的離心率為 ( )
mabcd.
解：設雙曲線的右準線為,過分別作於,於, ,由直線ab的斜率為,知直線ab的傾斜角,
由雙曲線的第二定義有.
又 .【例2】雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為f1，f 2，點p為雙曲線上任意一點，，
求證：（1）；（2）雙曲線的焦點角形的面積為.
變式：（2010全國1文）已知、為雙曲線c:的左、右焦點，點p在c上，，
則(a)2 (b)4 (c) 6 (d) 8
解1：由餘弦定理得cos∠p=
4解2：由焦點三角形面積公式得：
，4變式2：（2010全國1理）已知、為雙曲線c:的左、右焦點，點p在c上，，
則p到x軸的距離為
(a) (b) (c) (d)
【例3】設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為f1、f2,p（異於長軸端點）為雙曲線上任意一點，
在△pf1f2中，記, ,，證明：.
【例4】證明：與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是
變式1：證明：與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是
變式2：根據下列條件，求雙曲線方程：
（1）與雙曲線有共同的漸近線，且過點（－3，2）；
（2）與雙曲線－=1有公共焦點，且過點（3，2）
分析：設雙曲線方程為－=1，求雙曲線方程，即求a、b，為此需要關於a、b的兩個方程，
由題意易得關於a、b的兩個方程
解法一：（1）設雙曲線的方程為－=1，由題意得，解得a2=，b2=4
所以雙曲線的方程為－=1
（2）設雙曲線方程為－=1，由題意易求c=2，又雙曲線過點（3，2），∴－=1
又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8，故所求雙曲線的方程為－=1
解法二：（1）設所求雙曲線方程為－＝λ（λ≠0），將點（－3，2）代入得λ＝，
所以雙曲線方程為－＝
（2）設雙曲線方程為－＝1，將點（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為－＝1
點評：求雙曲線的方程，關鍵是求a、b，在解題過程中應熟悉各元素（a、b、c、e及準線）之間的關係，
並注意方程思想的應用若已知雙曲線的漸近線方程ax±by=0，可設雙曲線方程為a2x2－b2y2=λ（λ≠0）
【例5】在等軸雙曲線中，
證明：（1）其離心率；
2）兩條漸近線互相垂直；
3）等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。
變式：雙曲線與雙曲線互為共軛雙曲線，
證明：（1）共軛雙曲線有共同的漸近線；
2）它們的四個焦點共圓；
3）它們的離心率的倒數的平方和等於1.
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一 三維目標 1 知識與技能 1 使學生能運用雙曲線的標準方程討論雙曲線的範圍 對稱性 頂點 離心率 漸近線等幾何性質 2 掌握雙曲線標準方程中的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及證明 3 能運用雙曲線的幾何性質解決雙曲線的一些基本問題。2 過程與方法 1 通過與橢圓的性質的模擬，獲得雙曲線的性質...
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課題 8 4雙曲線的簡單幾何性質 教學目的 1 使學生掌握雙曲線的範圍 對稱性 頂點 漸近線等幾何性質 2 掌握標準方程中的幾何意義 3 並使學生能利用上述知識進行相關的論證 計算 作雙曲線的草圖以及解決簡單的實際問題 教學重點 雙曲線的漸近線及其得出過程 教學難點 漸近線幾何意義的證明 授課型別 ...