第六講直線與圓錐曲線的位置關係
一、 知識結構圖：
二、 思路剖析：
1、從幾何角度看：要特別注意當直線與雙曲線的漸進線平行時，直線與雙曲線只有乙個交點；當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線也只有乙個交點.注意當直線轉動時斜率的變化規律.
2、從代數角度看：設直線l的方程與圓錐曲線的方程聯立得到。
1. 若=0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線l與雙曲線的漸進線平行或重合；
當圓錐曲線是拋物線時，直線l與拋物線的對稱軸平行或重合.
②.若，設.
時，直線和圓錐曲線相交於不同兩點，相交.
時，直線和圓錐曲線相切於一點，相切.
時，直線和圓錐曲線沒有公共點，相離.
注意：直線與雙曲線有且只有乙個公共點與⊿=0不能形成充要關係.
一、常規幾大題型：
(一)、中點弦問題
思想方法：具有斜率的弦的中點問題，常用設而不求法（點差法）：設曲線上兩點為，，代入方程，然後兩方程相減，再應用中點關係及斜率公式（當然在這裡也要注意斜率不存在情況的討論），利用斜率及中點座標公式處理。
如：（1）與直線相交於a、b，設弦ab中點為m(x0,y0)，則有。
（2）與直線l相交於a、b，設弦ab中點為m(x0,y0)則有
（3）y2=2px（p>0）與直線l相交於a、b設弦ab中點為m(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.
注：以上結論可不記憶，但必能推導.
1、(★)推導以上三個結論中的某乙個.
2、(★★)雙曲線，
（1）過a（2，1）的直線與雙曲線交於兩點、，則線段的中點p的軌跡方程為
（2）過a（1，1）能否作一直線l與此雙曲線交於、兩點，且a是線段的中點？說明理由.
3、(★★★)如圖,橢圓的焦點f1(-4,0),f2(4,0),過f2且垂直於x軸的直
線與橢圓的乙個交點為b，|f1b|+|f2b|=10，橢圓上兩異點a（x1,y1），
c(x2,y2)滿足條件|f2a|，|f2b|，|f2c|成等差數列，
（1）求此橢圓的方程， （2）求弦ac中點的橫座標，
（3）設弦ac的中垂線的方程為y=kx+m,求m的取值範圍.
(二)焦點弦、焦點三角形問題
思想方法：圓錐曲線上一點p，與兩個焦點、構成的三角形(稱為焦點三角形)問題，常結合定義,用正、餘弦定理搭橋.
4、(★)點f1，f2為橢圓的左右焦點，直線l過焦點f1與橢圓交天a，b兩點，求三角形af2面積的最大值
解：|f1f2|=2
s⊿af2b= | f1f2||y1-y2|（其中y1，y2為a，b的縱座標）
設直線l：x=py-1（過左焦點的直線），代入橢圓方程
利用偉達定理得出|y1-y2|，|y1-y2|2=（y1+y2）2-4y1y2
p=0時最大，smax=
5、(★★)設p(x,y)為橢圓上任一點，，為焦點，
1）求證：離心率
（2）求使得∠f1pf2最大時p點的座標3）求|pf1||pf2|的最大值.
（4）求|pf1|2+|pf2|2的最大值5）求證s
（6）若存在動點p，使得∠f1pf2=900，求離心率的範圍.
（三）直線與圓錐曲線
思想方法：基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程後利用判別式、根與係數的關係、求根公式等來處理. 應特別注意數形結合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題.
如果直線過橢圓的焦點，結合三大曲線的定義去解.此類問題的運算量較大，要注意強化自己的運算能力.
6、(★)過點p（3，5）與雙曲線有且僅有乙個公共點的直線有________條.
7、(★★)直線與雙曲線=4。
(1)若直線與雙曲線無公共點，k的範圍為
(2)若直線與雙曲線有兩個公共點，k的範圍為
(3)若直線與雙曲線的右支有兩個公共點，k的範圍為
8、(★★★)兩定點f10 ）、f20），滿足的點p的軌跡是曲線e，直線y=kx-1與曲線e交於a、b兩點，若|ab|=6 ，且曲線e上存在點c，使求m的值和三角形abc的面積.
解：x2-y2=1與y=kx-1聯立，得（1-k2）x2+2kx-2=0
設：a（x1,y1）,b(x2,y2)，故x1+x2=2k/(k2-1),x1x2=2/(k2-1)
由弦長公式，|ab|=6√3，解得k2=5/4或5/7
由(1)得k的取值範圍是（-√2，-1）
所以k=√5/2
點c是過原點o和線段ab中點的直線與曲線e的交點
線段ab中點座標是m（-2√5，4）
所以c（-√5，2）,m=2，三角形abc的面積為s=5√3
9、(★★★)如圖．橢圓的長軸為ab，過點b
的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率，f為左焦點且＝1 .
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設p是橢圓上異於a、b的任意一點，ph⊥x軸，h為垂足，延長hp到點q使得hp＝pq. 連線aq並延長交直線l於點m，n為mb的中點，判定直線qn與以ab為直徑的圓o的位置關係．
（四）圓錐曲線的最值（範圍）問題
思想方法：圓錐曲線中的有關最值（範圍）問題，常用代數法和幾何法解決.
若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。若命題的條件和結論體現明確的函式關係式，則可建立目標函式（通常利用二次函式，三角函式，均值不等式）求最值——「最值問題，函式思想」.
10、(★)拋物線點p到焦點f與p到點的距離之和最小時p點的座標為
11、(★★)直線l：y=x+9，橢圓c求與c有公共焦點，與直線l有公共點且長軸最短的橢圓c的方程.
12、(★★)左右焦點分別為f1、f2的橢圓上一點p，點a（2，1），
（1）求|pa|+ |pf1| 的是小值
（2）求|pa|+ |pf1|的最大值
13、(★★★)拋物線x2=2py,(p>0)，點p(0,m)，（m>0）,求使點p到拋物線上的動點q的距離取得最小值時m的值.
14、(★★★)拋物線y2=2px(p>0)，過m（a,0）且斜率為1的直線l與拋物線交於不同的兩點
a、b，|ab|≤2p.
（1）求a的取值範圍；
（2）若線段ab的垂直平分線交x軸於點n，求△nab面積的最大值.
（五）求曲線的軌跡或軌跡方程問題
思想方法：圓錐曲線的定義法，待定係數法、交軌法等.記住特殊的軌跡型別.
15、(★★)動點p，兩定點a、b，有|pa|=k|pb|，(k>0),且|ab|=2，求三角形abc面積的最大值.
16、(★★)定長線段ab的中點為o，平面上一動點p滿足：|pa||pb|+|po|2=t2(定值)，求點p的軌跡.
17、(★★★)直線l過原點，拋物線c 的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點a（-1，0）和點
b（0，8）關於l的對稱點都在c上，求直線l和拋物線c的方程.
（六） 對稱性問題
思想方法：對稱的思想方法：基本的對稱關係. 曲線上兩點關於某直線對稱問題，充分利用韋達定理並結合判別式來解.注意曲線本身的有界性..
18、(搞笑題)(★)直線型河流l,同側的兩個村莊a、b，ap⊥l,bq⊥l,垂足分別為p，q，
且|ap|=1km，|bq|=2km,，|pq|=1km,現要在河流旁建一水站，將水供至兩
個村莊，問水站應該建在什麼位置，能使所用水管最短？說明理由，
19、 (★★)橢圓c的方程，試確定m的取值範圍，使得對於直線，橢圓c上
有不同兩點關於直線對稱。
解一:設橢圓c上關於直線l對稱的兩點為p(x1,y1)、q(x2,y2),其所在直線方程為y=-x+b,代入橢圓方程3x2+4y2=12.整理得13x2-8bx+16b2-48=0,
∵x1≠x2,∴δ=-12(4b2-13)＞0.
解得-＜b＜. ①
又∵,而點()又在直線y=4x+m上,∴m=.②
把①代入②得m的取值範圍是-＜m＜.
解二:由解法一知2x0=x1+x2=,x1x2=.其中pq的中點座標為m(x0,y0),
由消去y0,把x0=b代入可解得m=-b,x0=-m,
根據中點m的位置,必有(x1-x0)(x2-x0)＜0,即x1x2-x0(x1+x2)+x02＜0.由此解得-＜m＜.
解三:設橢圓上關於l對稱的兩點為p(x1,y1)、q(x2,y2),pq的中點m(x0,y0).
則可求得
又點m在l上,∴y0=4x0+m. ② 由①②聯立解得x0=-m,y0=-3m.
∵m(-m,-3m)在橢圓的內部,∴3(-m)2+4(-3m)2＜12,解得-＜m＜.
20，(★★★)a(x1,y1),b(x2,y2)兩點在拋物線y=2x2上，直線l是線段ab的中垂線，
（1） 當且僅當x1+x2取何值時，直線l過拋物線的焦點？證明你的結論
（2） 當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值範圍，
解:(1)點f在直線l上|fa|=|fb|a、b兩點到拋物線準線的距離相等y1=y2x12=x22(x1+x2)
直線與圓錐曲線
主備人 段柏嬌把關人 李德道編號19 一學習目標 1 掌握直線與圓錐曲線的位置關係的判定方法，能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關係的問題轉化為研究方程組的解的問題 2 會利用直線與圓錐曲線的方程所組成的方程組消去乙個變數，將交點問題問題轉化為一元二次方程根的問題，結合根與係數關係及判別式解決問題 二 ...
24直線與圓錐曲線
直線與圓錐曲線聯絡在一起的綜合題在高考中多以高檔題 壓軸題出現，主要涉及位置關係的判定，弦長問題 最值問題 對稱問題 軌跡問題等.突出考查了數形結合 分類討論 函式與方程 等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力 計算能力較高，起到了拉開考生 檔次 有利於選拔的功能.案例 例1 如圖...
直線與圓錐曲線練習
一 選擇題 每小題5分，共25分 1 過點p 0,2 與拋物線y2 2x只有乙個公共點的直線有 a 0條 b 1條 c 2條 d 3條 答案 d 2 已知點f1，f2分別是雙曲線 1 a 0，b 0 的左 右焦點，過f1且垂直於x軸的直線與雙曲線交於a，b兩點，若 abf2為正三角形，則該雙曲線的離...