圓錐曲線光學性質及生活中的應用
杭州高階中學高二（12）：汪愈超、湯凱楠、王小川
學習完圓錐曲線的方程和性質後，課本上有幾條未證明的性質引起了我們的興趣，在反覆查詢資料，推理演算下，總算是確定了三條待證命題，大致地完成了其證明，並且找到了一些圓錐曲線在實際中的神奇應用。
一、 圓錐曲線的光學性質
首先說明一下我們要證明的東西，總共有三樣：
1 橢圓的光學性質： 從橢圓乙個焦點發出的光，經過橢圓反射後，反射光線都匯聚到橢圓的另乙個焦點上； (見圖1.1)
橢圓的這種光學特性，常被用來設計一些照明裝置或聚熱裝置．例如在f1處放置乙個熱源，那麼紅外線也能聚焦於f2處，對f2處的物體加熱．
2雙曲線的光學性質 ：從雙曲線乙個焦點發出的光，經過雙曲線反射後，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另乙個焦點上；(見圖1.2)．
雙曲線這種性質，在天文望遠鏡的設計等方面，有重大的貢獻
3 拋物線的光學性質 ：從拋物線的焦點發出的光，經過拋物線反射後，反射光線都平行於拋物線的軸（如圖1.3）
拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發射裝置的最佳選擇．例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置於它的焦點處，經鏡面反射後能成為平行光束，使照射距離加大，並可通過轉動拋物線的對稱軸方向，控制照射方向．衛星通訊像碗一樣接收或發射天線，一般也是以拋物線繞對稱軸旋轉得到的，把接收器置於其焦點，拋物線的對稱軸跟蹤對準衛星，這樣可以把衛星發射的微弱電磁波訊號射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發射裝置安裝在焦點，把對稱軸跟蹤對準衛星，則可以使發射的電磁波訊號射線能平行地到達衛星的接收裝置，同樣保證接收效果．最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點處的貯水器的．
當然，在證明之前，需要把這個物理問題轉化為數學問題才行。
2、問題轉化及證明
在證明前，如果不知道這三點，是很麻煩的
因為其光學性質的證明都與圓錐曲線上某一點的切線方程有關，所以這三個公式先提前列出
1若點是橢圓上任一點，則橢圓過該點的切線方程為：。
2若點是雙曲線上任一點，則雙曲線過該點的切線方程為：
3若點是拋物線上任一點，則拋物線過該點的切線方程是
1. 橢圓上乙個點p的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點p處的法線平分（圖2.1）
已知：如圖，設橢圓的方程為，分別是其左、右焦點，是過橢圓上一點的切線，為垂直於且過點的橢圓的法線，交軸於
設，求證：.
解：在上，，
則過點的切線方程為：
是通過點且與切線垂直的法線，
則∴法線與軸交於∴∴
又由焦半徑公式得：
∴∴是的平分線
∴∵，故可得
2.雙曲線上乙個點p的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點p處的切線平分（圖2.2）；
已知：如圖，雙曲線的方程為，，分別是其左、右焦點，是過雙曲線上的一點的切線，交軸於點，設，
求證：解： 兩焦點為，
在雙曲線上
則過點的切線
切線與軸交於。
由雙曲線的焦半徑公式得
雙曲線的兩焦點座標為， 故故，
∴切線為之角分線。
定理3 拋物線上乙個點p的焦半徑與過點p且平行於軸的直線的夾角被拋物線在點p處法線平分（圖2.3）。
已知：如圖，拋物線的方程為為，
直線是過拋物線上一點的切線，
交軸於，，
反射線與所成角記為，
求證：證明： 如圖 ，拋物線的方程為
，點在該拋物線上，
則過點的切線為
切線與軸交於
焦點為， (同位角)∵∴
∴通過以上問題轉化可知，圓錐曲線的光學性質是可以用我們學過的知識證明的(very difficult)。那麼它在生活中有何應用呢？
三．圓錐曲線的應用
圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角座標系，它們又與二次方程對應，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一，在我們的實際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。
雖然我不知道為什麼，天體分別按照橢圓，雙曲線，拋物線執行時，其總能量與離心率有很奇妙的關係，天體總能量橢圓<0,雙曲線》0,拋物線=0，（橢圓e<1,雙曲線e>1,拋物線e=1）。相對於乙個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運動，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式。
我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的橢圓軌跡上執行，太陽系其他行星也如此，太陽則位於橢圓的乙個焦點上。如果這些行星執行速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線執行。人類發射人造地球衛星或人造行星就要遵照這個原理。
由拋物線繞其軸旋轉，可得到乙個叫做旋轉物面的曲面。它也有一條軸，即拋物線的軸。在這個軸上有乙個具有奇妙性質的焦點，任何一條過焦點的直線由拋物面反射出來以後，都成為平行於軸的直線。
這就是我們為什麼要把探照燈反光鏡做成旋轉拋物面的道理。
由雙曲線的一支繞其虛軸旋轉，可以得到雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。人們在設計高大的立塔時，就採取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅固（比如教材當中的冷卻塔）
由此可見，對於圓錐曲線的價值，無論如何也不會估計過高。
圓錐曲線的光學性質是奇妙的，奇妙的背後蘊含著奇妙的數學關係。我們只有善於觀察，勤於鑽研，及時總結，才能閃現更多的靈感，才能在奧妙的數學世界暢遊。
參考文獻 （1）張奠宙主編《數學教育研究導引》
（2）《圓錐曲線的光學性質及其應用》
圓錐曲線的光學性質及其應用
尹建堂圓錐曲線的光學性質源於它的切線和法線的性質，因而為正確理解與掌握其光學性質，就要掌握其切線 法線方程的求法及性質。該方程的推導，原則上用 法 求出在點p處的切線斜率，進而用點斜式寫出切線方程，則在點p處的法線方程為。1 拋物線的切線 法線性質 經過拋物線上一點作一條直線平行於拋物線的軸，那麼經...
解析幾何 圓錐曲線共同性質及應用
本資料 於 七彩教育網 12.4圓錐曲線的共同性質及應用 知識網路 1 用聯絡的觀點看圓錐曲線的共同性質 2 學會圓錐曲線幾何性質的簡單綜合應用 3 進一步體會函式方程思想 化歸轉化思想 分類討論思想 數形結合思想 典型例題 例1 1 若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為 ab cd 2 曲線...
第八章圓錐曲線方程 圓錐曲線的應用 1
一 複習目標 會按條件建立目標函式研究變數的最值問題及變數的取值範圍問題，注意運用 數形結合 幾何法 求某些量的最值 二 知識要點 1 與圓錐曲線有關的引數問題的討論常用的方法有兩種 1 不等式 組 求解法 利用題意結合圖形列出所討論的引數適合的不等式 組 通過解不等式 組 得出引數的變化範圍 2 ...