湖北省陽新縣高階中學鄒生書
我們把經過有心二次曲線中心的弦叫做直徑，把頂點在有心曲線上且有一邊是直徑的三角形叫做有心曲線的直徑三角形.本文向讀者介紹有心曲線直徑三角形的乙個重要性質及其應用.
性質1已知是橢圓的任一直徑，點是橢圓上任意一點，若直線的斜率都存在，則.
證明設，因為是橢圓的直徑，所以點的座標為，
所以.又因為點在橢圓上，所以有.兩式相減得，，所以，所以.
同理可證雙曲線也有如下類似性質：
性質2已知是雙曲線的任一直徑，點是雙曲線上任意一點，若直線的斜率都存在，則.
圖1例1（2023年高考山東理科卷的第21題）如圖1，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左右焦點為頂點的三角形的周長為，現有一等軸雙曲線，其頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異於頂點的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為和.
(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；
(2)設直線和的斜率分別為，證明:；
(3)是否存在常數，使得恆成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
本題主要考查橢圓、雙曲線的基本概念和基本性質，考查直線和橢圓的位置關係，考查定值和存在性等知識，考查數形結合思想和**問題的能力.
解(1)橢圓方程為，雙曲線方程為（過程略）；（2）過程略；
（3）假設存在這樣的常數，使得恆成立.
將直線的方程代入橢圓方程整理得，.
則.由弦長公式得，
.同理，由得，將其代入得.由得，
，即，所以，故.
本題第二問的結論即雙曲線直徑三角形的性質為第三問的解答起到了引領解題思路簡化運算的台階作用，如果沒有第二問的台階鋪墊，則第三問定值**的切入變得艱難和茫然，運算由於變數增多導致運算複雜量大難以駕馭而無功而返.下面兩題沒有台階鋪墊，若有模識別意識自覺運用有心曲線直徑三角形的性質解題，則可達到化難為易事半功倍之效.
圖2例2(2023年高考江蘇卷理科第18題)如圖2，在平面直角座標系中，分別是橢圓的頂點，過座標原點的直線交橢圓於兩點，其中點在第一象限，過作軸的垂線，垂足為.連線屏延長交橢圓於點.設直線的斜率為.
（1）當直線平分線段時，求的值；
（2）當時，求點到直線的距離；
（3）對任意的，求證:.
解（3）(證)設，則，
.因為直徑，由橢圓直徑三角形性質得，
，而，所以，所以，因此，所以.
例3如圖3，已知是橢圓的左右頂點，點是橢圓上異於的任意一點，（1）直線分別交右準線於兩點，以為直徑的圓過右焦點；(2)存在垂直於軸的定直線，若直線交直線於兩點且以為直徑的圓過右焦點，則直線為右準線.
圖3證明（1）設直線的斜率分別為，由橢圓直徑三角形性質得.則直線的方程為:①，
直線的方程為:②，又右準線的方程為；③.
解①③得點的座標為，解②③得點的座標為.於是，
所以，所以，故以為直徑的圓過右焦點.
（2）設直線的斜率分別為，由性質得.則直線的方程為：①，直線的方程為:②，設直線的方程為：③.
解①③得點的座標為，解②③得點的座標為.於是.因為以為直徑的圓過右焦點，所以，所以，即，所以，化簡得，所以，於是，故直線為右準線.
例4（2023年高考福建卷理科第19題）已知分別為曲線與軸的左右兩個交點，直線過點，且與軸垂直，為上異於點的一點，鏈結交曲線於點.(1)若曲線為半圓，點為圓弧的三等分點，試求出點的座標；（2）如圖4，點是以為直徑的圓與線段的交點，試問：是否存在，使得三點共線？
若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
圖4解（1）略；（2）假設存在這樣的，使得三點共線.
設直線斜率分別為，則直線的方程為①，又直線的方程為②，解①②得點的座標為，所以③.因為為圓的直徑，所以，所以，所以④.又由橢圓直徑三角形性質知，所以⑤，將③⑤代入④得，，所以，故存在，使得三點共線.
用「研究」的態度去對待我們遇到的每乙個數學問題，去研究它、解剖它最終對問題達到較為透徹的理解，揭示問題的「通性」，尋找解決問題的「通法」和「優美解」，並用我們所得的通性通法去指導我們的解題實踐，這對我們提高解題能力是大有裨益的.
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