一正弦定理
（一）知識與工具：
正弦定理：在△abc中，。
變形：.
在這個式子當中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角。
註明：正弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，在變形中，注意三角形中其他條件的應用：
(1)三內角和為180° 兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊
(2)三角函式的恒等變形
sin(a+b)=sinc，cos(a+b)=-cosc ，sin=cos，cos=sin
(3)面積公式：s=absinc==2r2sinasinbsinc
（2）題型使用正弦定理解三角形共有三種題型
題型1 利用正弦定理公式原型解三角形
例一、在△abc中，若，則等於（ ）
a． b． c． d．
【解析】c.
題型2 利用正弦定理公式變形邊角互化解三角形：關於邊或角的齊次式可以直接邊角互化。
例二、在△中，若，則等於（ ）
a． b． c． d．
【解析】d. 或
題型3 三角形解的個數的討論
方法一：畫圖看
方法二：通過正弦定理解三角形，利用三角形內角和與三邊的不等關係檢驗解出的結果是否符合實際意義，從而確定解的個數。
例三、等腰三角形一腰上的高是，這條高與底邊的夾角為，則底邊長為（d ）
a． b． c． d．
二餘弦定理
（一）知識與工具：
a2=b2+c2﹣2bccosa cosa=
b2=a2+c2﹣2accosb cosb=
c2=a2+b2﹣2abcosc cosc=
註明：餘弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，當題中含有二次項時，常使用餘弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應用：
(1)三內角和為180°；
(2)兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
(3)面積公式：s=absinc==2r2sinasinbsinc
(4)三角函式的恒等變形。
（二）題型使用餘弦定理解三角形共有三種現象的題型
題型1 利用餘弦定理公式的原型解三角形
例一、在△abc中，若
解析】題型2 利用餘弦定理公式的變形(邊角互換)解三角形：凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉化成邊或所有邊轉化成角，在轉化過程中需要構造公式形式。
題型3 判斷三角形的形狀
結論：根據餘弦定理，當a2+b2＜c2、b2+c2＜a2、c2+a2＜b2中有乙個關係式成立時，該三角形為鈍角三角形，而當a2+b2＞c2、b2+c2＞a2，c2+a2＞b2中有一種關係式成立時，並不能得出該三角形為銳角三角形的結論。
判斷三角形形狀的方法：
(1)將已知式所有的邊和角轉化為邊邊關係，通過因式分解、配方等得出邊的相應關係，從而判斷三角形的形狀。
例一、在△abc中，若則△abc的形狀是什麼？
解：或，得或
所以△abc是直角三角形。
（2）應用題
題型1 計算高度題型2 計算距離
題型3 計算角度題型4 測量方案的設計
實際應用題型的本質就是解三角形，無論是什麼樣的現象，都要首先畫出三角形的模型，再通過正弦定理和餘弦定理進行求解。
例一：如圖，設a、b兩點在河的兩岸，一測量者在a的同側，在所在的河岸邊選定一點c，測出ac的距離為50 m，∠acb＝45°，∠cab＝105°後，就可以計算出ab兩點的距離為( )
a．50 m b．50 m c．25 m d. m
答案：a
析：由正弦定理得＝，ab＝＝＝50 (m)
例二、一船向正北航行，看見正西方向有相距10海浬的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續航行半小時後，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是每小時( )
a．5海浬b．5海浬c．10海浬d．10海浬
析：依題意有∠bac＝60°，∠bad＝75°，所以∠cad＝∠cda＝15°，從而cd＝ca＝10，在直角三角形abc中，可得ab＝5，於是這只船的速度是＝10(海浬/小時)．答案：c
（三）其他常見結論
1三角形內切圓的半徑：，
特別地，
2三角學中的射影定理：
在△abc 中，，…
3兩內角與其正弦值：
在△abc 中，，…
例一、在△abc中，若，則其面積等於（ ）
a． b． c． d．
【解析】d
解三角形習題
一選擇題 1.已知 abc中，則等於 abcd 2.abc中，則最短邊的邊長等於 abcd 3.長為5 7 8的三角形的最大角與最小角之和為 a 90 b 120 c 135 d 150 4.abc中，則 abc一定是 a直角三角形 b鈍角三角形 c等腰三角形 d等邊三角形 5.abc中，則 abc...
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三角形知識整理
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