解三角形
1.1正弦定理和餘弦定理
1.1.1正弦定理
【典型題剖析】
考察點1：利用正弦定理解三角形
例1 在abc中，已知a:b:c=1:2:3,求a :b :c.
【點撥】 本題考查利用正弦定理實現三角形中邊與角的互化，利用三角形內角和定理及正弦定理的變形形式 a :b :c=sina: sinb: sinc 求解。
解： 【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應用。
例2在abc中，已知c=+，c=30°，求a+b的取值範圍。
【點撥】 此題可先運用正弦定理將a+b表示為某個角的三角函式，然後再求解。
解：∵c=30°，c=+，∴由正弦定理得：
∴ a=2(+)sina,b=2(+)sinb=2(+)sin（150°-a）.
∴a+b=2(+)[sina+sin(150°-a)]= 2(+)·2sin75°·cos(75°-a)=
cos(75°-a)
1 當75°-a=0°，即a=75°時，a+b取得最大值=8+4；
2 ∵a=180°-(c+b)=150°-b,∴a＜150°，∴0°＜a＜150°,
∴-75°＜75°-a＜75°，∴cos75°＜cos(75°-a)≤1，
∴＞cos75°=×=+.
綜合①②可得a+b的取值範圍為(+,8+4>
考察點2：利用正弦定理判斷三角形形狀
例3在△abc中，·tanb=·tana，判斷三角形abc的形狀。
【點撥】通過正弦定理把邊的關係轉化為角的關係，利用角的關係判斷△abc的形狀。
解：由正弦定理變式a=2rsina,b=2rsinb得：
,即，，
.∴為等腰三角形或直角三角形。
【解題策略】「在△abc中，由得∠a=∠b」是常犯的錯誤，應認真體會上述解答過程中「∠a=∠b或∠a+∠b=」的匯出過程。
例4在△abc中，如果，並且b為銳角，試判斷此三角形的形狀。
【點撥】通過正弦定理把邊的形式轉化為角的形式，利用兩角差的正弦公式來判斷△abc的形狀。
解：.又∵b為銳角，∴b=45°.
由由正弦定理，得,
∵代入上式得：
考察點3：利用正弦定理證明三角恒等式
例5在△abc中，求證.
【點撥】觀察等式的特點，有邊有角要把邊角統一，為此利用正弦定理將轉化為.
證明：由正弦定理的變式得：
同理【解題策略】在三角形中，解決含邊角關係的問題時，常運用正弦定理進行邊角互化，然後利用三角知識去解決，要注意體會其中的轉化與化歸思想的應用。
例6在△abc中，a,b,c分別是角a,b,c的對邊，c=2b，求證.
【點撥】本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應用.
證明：【解題策略】有關三角形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性質。
考察點4：求三角形的面積
例7在△abc中，a,b,c分別是三個內角a,b,c的對邊，若,求△abc的面積s.
【點撥】先利用三角公式求出sinb,sina 及邊c，再求面積。
解：由題意，得
∴b為銳角，
由正弦定理得
【解題策略】在△abc中，以下三角關係式在解答三角形問題時經常用到，要記準、記熟，並能靈活應用， 例8
已知△abc中a,b,c分別是三個內角a,b,c的對邊，△abc的外接圓半徑為12，且, 求△abc的面積s的最大值。
【點撥】本題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應用。
解： 【解題策略】把三角形的面積公式和正弦定理相結合，通過討論三角函式值的取值，求得面積的最大值。
考察點5：與正弦定理有關的綜合問題
例9已知△abc的內角a,b極其對邊a,b滿足求內角c
【點撥】本題主要考察解三角形中的正弦定理、和差化積公式等基礎知識，考察運算能力、分析能力和轉化能力。
解法1：
（r為△abc的外接圓半徑），
又∵a,b為三角形的內角，
當時，由已知得
綜上可知，內角.
解法2：
由及正弦定理得，，，
從而即又∵0＜a+b＜π，
【解題策略】切化弦、邊化角是三角關係化簡的常用方法，熟練運用三角恒等變換公式是解題的關鍵。
例10在△abc中，a，b，c所對的邊分別為a,b,c,且c=10,，求a,b及△abc的內切圓半徑。
【點撥】欲求邊，應將已知條件中的邊角統一，先求角再求邊。
解： 變形為
又∴△abc是直角三角形。
由解得【解題策略】解此類問題應注意定理與條件的綜合應用。
『易錯疑難辨析』
易錯點利用正弦定理解題時，出現漏解或增解
【易錯點辨析】本節知識在理解與運用中常出現的錯誤有：（1）已知兩邊和其中一邊的對角，利用正弦定理求另一邊的對角時，出現漏解或增解；（2）在判斷三角形的形狀時，出現漏解的情況。
例1（1） 在△abc中，
（2） 在△abc中，
【錯解】
（1） 由正弦定理得
（2） 由正弦定理得
【點撥】（1）漏解，由（0°＜b＜180°）可得因為b＞a,所以兩解都存在。（2）增解。由（0°＜b＜180°）可得，因為b＜a,根據三角形中大邊對大角可知b＜a,所以不符合條件，應捨去。
【正解】
（1）由正弦定理得
又∵0°＜b＜180°
（經檢驗都符合題意）
（2）由正弦定理得
又∵0°＜b＜180°
∵b＜a,根據三角形中大邊對大角可知b＜a，
不符合條件，應捨去，。
易錯點忽略三角形本身的隱含條件致錯
【易錯點解析】解題過程中，忽略三角形本身的隱含條件，如內角和為180°等造成的錯誤。
例2在△abc中，若求的取值範圍。
【錯解】
由正弦定理得
【點撥】在上述解題過程中，得到了後，忽略了三角形的內角和定理及隱含的均為正角這一條件。
【正解】
由正弦定理可知
∴0°＜b＜45°，＜＜1.
∴1＜＜3，故1＜＜3.
『高考真題評析』
例1（2010·廣東高考）已知a，b，c分別是△abc的三個內角a，b，c所對的邊，若則
【命題立意】本題主要考察正弦定理和三角形中大邊對大角的性質，解題的關鍵是確定角c的值。
【點撥】在△abc中，又，故，由正弦定理知又a＜b，因此從而可知，即。故填1.
【名師點評】解三角形相關問題時，應靈活掌握邊角關係，實現邊角互化。
例2（2010·北京高考）如圖1-9所示，在△abc中，若
則【命題立意】本題考查利用正弦定理解決三角形問題，同時要注意利用正弦定理得到的兩解如何取捨。
【點撥】由正弦定理得，
∵c為鈍角，∴b必為銳角，
故填1【名師點評】
在範圍內，正弦值等於的角有兩個，因為角c為鈍角，所以角b必為銳角，防止忽略角的範圍而出現增解
圖1-9
例3（2010·湖北高考）在△abc中，則等於（ ）
【命題立意】本題考查正弦定理及同角三角函式基本關係式，解題的關鍵是確定角b的範圍。
【點撥】由正弦定理得∵＞，，∴b為銳角。，故選d
【名師點評】根據三角形性質大邊對大角準確判斷角b的範圍，從而確定角b的余弦值。
例4（2010·天津高考）在△abc中，
（1）求證；
（2）若，求的值。
【命題立意】本題主要考察正弦定理、兩角和與差的正弦公式、同角三角函式的基本關係、二倍角的正弦與余弦等基礎知識，同時考察基本運算能力。
證明：（1）在△abc中，由正弦定理及已知，得。
於是即因為＜b-c＜，從而b-c=0，所以b=c .
解：（2）由和（1）得，故
又0＜2b＜，於是從而，
。所以【名師點評】（1）證角相等，故由正弦定理化邊為角。（2）在（1）的基礎上找角a與角b的函式關係，在求2b的正弦值時要先判斷2b的取值範圍。
知能提公升訓練學以致用
1、在△abc中，下列關係式中一定成立的是（ ）
a．＞ b. =
c.＜ d.≥
2、（2011·山東模擬）△abc中，角a，b，c的對邊分別為a,b,c，，則c等於（ ）
a.1 b.2 c. d.
3、（2011·廣東模擬）在△abc中，，則等於（ ）
ab.cd.
4、在△abc中，若，則△abc是（ ）
a．直角三角形b.等邊直角三角形
c．鈍角三角形d.等腰直角三角形
5、在銳角△abc中，若c=2b，則的範圍是（ ）
ab.c. d.
6、在△abc中，，則，滿足此條件的三角形有（ ）
a．0個 b.1個 c.2個 d.無數個
7、在△abc中，若a：b：c=3：4：5，則：：等於（ ）
a．3：4：5b.2::
c. 1::2d.::
8、（2011·浙江模擬）在△abc中，則此三角形的最大邊長為（ ）
a． b. c. d.
9、在△abc中則。
10、（2011·山東模擬）在△abc中角a，b，c的對邊分別為a,b,c，若，則角a的大小為。
11、在△abc中已知cm， cm，，如果利用正弦定理解三角形有兩解，那麼的取值範圍是。
12、如圖1-10所示，△acd是等邊三角形，△abc是等腰直角三角形， bd交ac於e，ab=2.
（1）求的值；
（2）求ae的長。
圖1-10
13、在△abc中，角a，b，c的對邊分別為a,b,c，求證。
14、在△abc中，求及三角形的面積。
15、已知方程的兩根之積等於兩根之和，且為△abc的內角，分別為的對邊，判斷△abc的形狀。
16、在△abc中，
（1）求角c的大小；
（2）若△abc的最大邊長為，求最小邊的長。
1.1.2 餘弦定理
『典型題剖析』
考察點1： 利用餘弦定理解三角形
例1：已知△abc中，求a，c和。
【點撥】解答本題可先由餘弦定理列出關於邊長的方程，首先求出邊長，再由再由正弦定理求角a，角c，也可以先由正弦定理求出角c，然後再求其他的邊和角。
解法1：
由正弦定理得，
解得或6.當時，
當時，由正弦定理得
解法2：
由＜， ＞，知本題有兩解。
由正弦定理得，
或，當時，，由勾股定理得：
當時，，∴△abc為等腰三角形，。
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