高中數學經典解題技巧：三角變換與解三角形
一、三角變換及求值
解題技巧： 1．在涉及兩角和與差的三角函式公式的應用時，常用到如下變形
（1）；
（2）角的變換；
（3）。
2．利用兩角和與差的三角函式公式可解決求值求角問題，常見有以下三種型別：
（1）「給角求值」，即在不查表的前提下，通過三角恒等變換求三角函式式的值；
（2）「給值求值」，即給出一些三角函式值，求與之有關的其他三角函式式的值；
（3）「給值求角」，即給出三角函式值，求符合條件的角。
例1：已知向量,且
(ⅰ)求tana的值； (ⅱ)求函式r)的值域
解析：（ⅰ）由題意得m·n=sina-2cosa=0,
因為cosa≠0,所以tana=2.
（ⅱ）由（ⅰ）知tana=2得
因為xr,所以.當時，f(x)有最大值，
當sinx=-1時，f(x)有最小值-3
所以所求函式f(x)的值域是
二、正、餘弦定理的應用
解題技巧：1．在三角形中考查三角函式式變換，是近幾年高考的熱點，它是在新的載體上進行的三角變換，因此要時刻注意它重要性：一是作為三角形問題，它必然要用到三角形的內角和定理，正、餘弦定理及有關三角形的性質，及時進行邊角轉化，有利於發現解決問題的思路；其二，它畢竟是三角形變換，只是角的範圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意「三統一」，即「統一角、統一函式、統一結構」，是使問題獲得解決的突破口。
2．在解三角形時，三角形內角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），這往往造成有兩解，應注意分類討論，但三角形內角的余弦為正，該角一定為銳角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角問題，應盡量避免求正弦值。
例2：（2010·遼寧高考理科·ｔ17）在△abc中，a, b, c分別為內角a, b, c的對邊，且
（ⅰ）求a的大小；
（ⅱ）求的最大值.
【命題立意】考查了正弦定理，餘弦定理，考查了三角函式的恒等變換，三角函式的最值。
【思路點撥】（i）根據正統定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關係，再由餘弦定理求角
（ii）由（i）知角c＝60°-b代入sinb+sinc中，看作關於角b的函式，進而求出最值
【規範解答】（ⅰ）由已知，根據正弦定理得
即由餘弦定理得故 ，a=120
（ⅱ）由（ⅰ）得：
故當b＝30°時，sinb+sinc取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，實現角的正弦化為邊時只能是用a替換sina，用b替換sinb,用c替換sinc。sina,sinb,sinc的次數要相等，各項要同時替換，反之，用角的正弦替換邊時也要這樣，不能只替換一部分。
(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內角和定理的使用。象本例中b+c＝60°
三、三角函式的實際應用
例3：（2010·江蘇高考·ｔ１7）某興趣小組測量電視塔ae的高度h(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿bc的高度h=4m，仰角∠abe=，∠ade=。
(1)該小組已測得一組、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，請據此算出h的值；
(2)該小組分析若干測得的資料後，認為適當調整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，-最大？
【命題立意】本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用。
【思路點撥】（1）分別利用表示ab、ad、bd，然後利用ad—ab=db求解；
（2）利用基本不等式求解.
【規範解答】（1），同理：，。
ad—ab=db，故得，解得：。
因此，算出的電視塔的高度h是124m。
（2）由題設知，得，
，（當且僅當時，取等號）
故當時，最大。
因為，則，由的單調性可知：當時，-最大。
故所求的是m。
例4．（2010·福建高考文科·ｔ2）計算的結果等於（ ）
a. b. c. d.
【命題立意】本題考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降冪公式，並進行三角的化簡求值。
【思路點撥】 直接套用倍角公式的逆用公式，即降冪公式即可。
【規範解答】選b，。
【方法技巧】對於三角公式的學習，要注意靈活掌握其變形公式，才能進行靈活的恒等變換。如倍角公式：，的逆用公式為「降冪公式」，即為，，在三角函式的恒等變形中，降冪公式的起著重要的作用。
例5．（2010 海南寧夏高考理科t16）在中，d為邊bc上一點，bd=dc,=120°，ad=2，若的面積為，則
【命題立意】本題主要考查了餘弦定理及其推論的綜合應用.
【思路點撥】利用三角形中的餘弦定理極其推論。列出邊與角滿足的關係式求解.
【規範解答】設，則，由的面積為可知
，可得，由餘弦定理可知
，所以，所以
由，及可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟練三角形中隱含的角的關係，利用餘弦定理或正弦定理找邊與角的關係，列出等式求解.
例6．（2010·天津高考理科·ｔ7）在△abc中，內角a,b,c的對邊分別是a,b,c，若，，則a
（a） （b） （c） （d）
【命題立意】考查三角形的有關性質、正弦定理、餘弦定理以及分析問題、解決問題的能力。
【思路點撥】根據正、餘弦定理將邊角互化。
【規範解答】選a，根據正弦定理及得：，。
【方法技巧】根據所給邊角關係，選擇使用正弦定理或餘弦定理，將三角形的邊轉化為角。
例7．（2010·天津高考理科·ｔ１7）已知函式
（ⅰ）求函式的最小正週期及在區間上的最大值和最小值；
（ⅱ）若，求的值。
【命題立意】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦公式、函式的性質、同角三角函式的基本關係、兩角差的余弦等基礎知識，考查基本運算能力。
【思路點撥】化成乙個角的三角函式的形式；變角，
【規範解答】（1）由，得
所以函式的最小正週期為
因為在區間上為增函式，在區間上為減函式，又
，所以函式在區間上的最大值為2，最小值為-1
（ⅱ）由（1）可知又因為，所以
由，得從而所以
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