例1 下列說法中，正確的是
[ ]
a．第一象限的角是銳角
b．銳角是第一象限的角
c．小於90°的角是銳角
d．0°到90°的角是第一象限的角
【分析】本題涉及了幾個基本概念，即「第一象限的角」、「銳角」、「小於90°的角」和「0°到90°的角」．在角的概念推廣以後，這些概念容易混淆．因此，弄清楚這些概念及它們之間的區別，是正確解答本題的關鍵．
【解】第一象限的角可表示為｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈z｝，銳角可表示為｛θ|0°＜θ＜90°｝，小於90°的角為｛θ|θ＜90°｝，0°到90°的角為｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，銳角的集合是第一象限角的集合當k=0時的子集，故(a)，(c)，(d)均不正確，應選(b)．
(90°－α)分別是第幾象限角？
【分析】 由sinα·cosα＜0，所以α在
二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在
二、三象限．因此α為第二象限的角，然後由角α的
【解】(1)由題設可知α是第二象限的角，即
90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈z)，
的角．(2)因為 180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈z)，所以2α是第
三、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角．
(3)解法一：因為 90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈z)，
所以 －180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈z)．
故 －90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈z)．
因此90°－α是第四象限的角．
解法二：因為角α的終邊在第二象限，所以－α的終邊在第三象限．
將－α的終邊按逆時針旋轉90°，可知90°－α的終邊在第四象限內．
【說明】①在確定形如α＋k·180°角的象限時，一般要分k為偶數或奇數討論；②確定象限時，α＋kπ與α－kπ是等效的．
例3 已知集合e=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，f=｛θ|tanθ＜sinθ｝，那麼e∩f是區間
[ ]
【分析】 解答本題必須熟練掌握各個象限三角函式的符號、各個象限的三角函式值隨角的變化而遞增或遞減的變化情況．可由三角函式的性質判斷，也可由三角函式線判斷．用代入特殊值排除錯誤答案的方法解答本題也比較容易．
【解法一】 由正、余弦函式的性質，
【解法二】由單位圓中的正弦線和正切線容易看出，對於
二、四象限的角，at＜mp，即tanα＜sinθ，由正弦線和余弦線可看出，當
應選(a)．
可排除(c)，(d)，得(a)．
【說明】本題解法很多，用三角函式線還可以有以下解法：因為第
一、三象限均有at＞mp，即tanθ＞sinθ，所以(b)，(c)，(d)均不成立．用排除法也有些別的方法，可自己練習．
例 4 (1)已知角α終邊上一點p(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值；
【分析】利用三角函式的定義進行三角式的求值、化簡和證明，是
三兩個象限，因此必須分兩種情況討論．
【解】(1)因為x＝3k，y=－4k，
例5 乙個扇形的周長為l，求扇形的半徑、圓心角各取何值時，此扇形的面積最大．
【分析】解答本題，需靈活運用弧度制下的求弧長和求面積公式．本題是求扇形面積的最大值，因此應想法寫出面積s以半徑r為自變數的函式表示式，再用配方法求出半徑r和已知周長l的關係．
【解】設扇形面積為s，半徑為r，圓心角為α，則扇形弧長為l－2r．所以
【說明】在學習弧度制以後，用弧度制表示的求弧長與扇形面積公
形的問題中，中心角用弧度表示較方便．本例實際上推導出乙個重要公式，即當扇形周長為定值時，怎樣選取中心角可使面積得到最大值．本題也可將面積表示為α的函式式，用判別式來解．
【分析】第(1)小題因α在第二象限，因此只有一組解；第(2)小題給了正弦函式值，但沒有確定角α的象限，因此有兩組解；第(3)小題角α可能在四個象限或是軸線角，因此需分兩種情況討論．
【解】(3)因為sinα=m(|m|＜1)，所以α可能在四個象限或α的終邊在x軸上．
例7(1)已知 tanα=m，求sinα的值；
【分析】(1)已知tanα的值求sinα或cosα，一般可將tanα
母都是sinα和cosα的同次式，再轉化為關於tanα的式子求值，轉化的方法是將分子、分母同除以cosα(或cos2α，這裡cosα≠0)，即可根據已知條件求值．
【說明】 由tanα的值求sinα和cosα的值，有一些書上利用公
很容易推出，所以不用專門推導和記憶這些公式，這類問題由現有的關係式和方法均可解決．
函式的定義來證明．
由左邊=右邊，所以原式成立．
【證法三】(根據三角函式定義)
設p(x，y)是角α終邊上的任意一點，則
左邊=左邊，故等式成立．
例9 化簡或求值：
【分析】 解本題的關鍵是熟練地應用正、余弦的誘導公式和記住特殊角的三角函式值．
=－sinα－cosα(因為α為第三象限角)．
例10 (1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表示式；
【分析】在(1)中理解函式符號的含義，並將f(sin x)化成f(cos(90°－x))是充分利用已知條件和誘導公式的關鍵．在(2)中必須正確掌握分段函式求值的方法．
【解】(1)f(sin x)＝f(cos(90°－x))＝cos9(90°－x)
=cos(2×360°＋90°－9x)＝cos(90°－9x)
=sin9x；＝1．
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