一、內容與內容解析
三角函式是函式的乙個特例，是函式概念的下位概念，與指數函式、對數函式具有相同的地位，但是在具體的定義方式上又有所不同，應該按照概念的體系將之納入到原有的認知結構中，揭示彼此之間的關係，認識新概念的本質屬性。
因此本課時的教學重點是：
通過概念的同化與精緻過程，幫助學生理解任意角三角函式（正弦、余弦、正切）的定義，並在這個過程中突出單位圓的作用。
二、目標和目標解析
1．借助單位圓理解任意角的三角函式（正弦、余弦、正切）的定義。（能根據任意角的三角函式的定義求出具體的角的各三角函式值，能根據定義**出三角函式值在各個象限的符號。）
2．在定義的學習過程中滲透數形結合的思想。（根據角的終邊與單位圓的交點的座標寫出角的各三角函式值，及各三角函式的定義域，利用單位圓的幾何特徵寫出正弦、余弦的值域。）
3．在概念同化和精緻的過程中發展學生研究問題的能力。（知道概念所在的體系，知道任意角的三角函式與銳角三角函式、函式、指、對數函式等之間的關係，利用單位圓的幾何特徵研究三角函式的方法。）
三、教學問題診斷分析
在概念教學過程中要注意學生已有知識經驗的作用，發揮其正遷移，防止其負遷移。本課時研究的是任意角的三角函式，學生在初中階段曾經研究過銳角三角函式，其研究範圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有座標系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學過程中要發展學生的已有認知經驗，發揮其正遷移。
具體而言要做到：明確研究範圍的變化，開闊學生的視野，並揭示由此帶來的新問題，激發學生的學習興趣；借助單位圓在座標系中進行研究，要先將銳角的三角函式問題置於座標系中，幫助學生利用座標系借助單位圓重新認識銳角三角函式，這樣做啟用了學生的已有知識經驗，並且用新的視角認識已有知識經驗，複習了舊知識，同時為新的研究內容做好鋪墊；第三，由於研究範圍的改變，更加突出了任意角的三角函式是為研究客觀世界中大量存在的週期性現象服務的。這些都是在本課時的學習之後應該取得的認知方面的進步。
認識乙個函式，關鍵是認識函式的三要素。在學生學習過的函式中，一次、二次、反比例或者用圖、表表示的對應法則的函式，其三要素是比較容易找到的，指、對函式的學習就需要一定的基礎，同樣在任意角的三角函式學習過程中也可能在自變數和對應法則上出現問題，應該注意明確任意角的三角函式的三要素，比如正弦函式y=sinα中自變數是角α，並且α∈r，對應法則是乙個角與其正弦值對應，至於這個值怎麼計算，在此處是規定為角α終邊與單位圓交點的縱座標，通過例2可以看出，也可以利用比值定義。對於一次函式、二次函式也需要將自變數的值進行計算得到函式值，這一點本質上是統一的，要引導學生模擬理解。
此外，由於學生對角度制的應用已經很熟練，而對弧度制的應用比較陌生，所以在理解函式的定義域是實數集時可能會出現問題，這需要教師的引導，同時也需要時間適應。
綜合上述分析，本課時的教學難點是：
引導學生將任意角的三角函式的定義同化，幫助學生真正理解定義。
四、教學支援條件分析
利用幾何畫板改變角的位置，認識角的終邊位於不同象限時如何定義角的三角函式值，充實學生的直觀感知材料，幫助學生形成比較全面的認知。
五、教學過程設計
問題1 本章研究的問題是三角函式，函式的研究離不開平面直角座標系，這在第一節中已經有所感受。現在請你回憶初中學過的銳角三角函式的定義，並思考乙個問題：如果將銳角置於平面直角座標系中，如何用直角座標系中角的終邊上的點的座標表示銳角三角函式呢？
（設計意圖：將已有知識座標化,分化難點。用新的觀點再認識學生的已有知識經驗，發揮其正遷移作用，同時使本課時的學習與學生的已有知識經驗緊密聯絡，使知識有乙個熟悉的起點，紮實的固著點。）
預計的回答：學生可以回憶出初中學過的銳角三角函式的定義，但是在用座標語言表述時可能會出現困難——即使將角置於座標系中但是仍然習慣用三角形邊的比值表示銳角三角函式，需要教師引導學生將之轉換為用終邊上的點的座標表示銳角三角函式。
解答過程：
（1）再現銳角三角函式的定義：如圖1，在直角△pom中，∠m是直角，那麼。
（2）座標化：如圖2，建立平面直角座標系，設點p的座標為（x，y），那麼，於是。
問題2 回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助於單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡，化簡的依據是什麼？寫出最簡單的形式。
（設計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認識，用數學的簡潔美引導學生進行研究，為定義的拓展奠定基礎。該問題與問題1結合，分步推進，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）
預計的困難：由於學生只接觸過一次單位圓，對它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教師的引導。也可以引導學生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之後通過分母的幾何意義將之與單位圓結合起來。
解答過程：
單位圓中定義銳角三角函式：如圖3，線段op=1，點p的座標為（x，y），那麼銳角α的三角函式可以用座標表示為：
。（說明：單位圓的定義建議在弧度制一節中給出。）
依據：三角形相似，比值與具體的點的位置沒有關係。
問題3：上述定義是借助於單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點的座標給出的，它可以推廣到任意角的三角函式，請你寫出任意角的三角函式的定義。分小組分別寫出角α的終邊位於第
二、三、四象限和x軸、y軸上時的三角函式。
（設計意圖：具體認識任意角的三角函式，突現本課時的研究重點。如果問題太一般化，如設計為：
上述定義可以推廣到任意角的三角函式，請寫出任意角的三角函式的定義。那麼學生不知道「上述定義」是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設計中再次強調要借助於單位圓，利用座標，限定學生的思維，以免太發散。
再者在一般要求「寫出任意角的三角函式」之後，又提出具體的活動方式：分小組針對不同位置的角分別寫出其三角函式。這樣將問題具體化，學生容易著手解決。
寫出定義的過程也是鞏固推廣的過程，而且這樣做盡可能避免出現學生用計算器算cosπ的現象。）
活動形式：由學生分組獨立完成之後再展示交流，形成具體而全面的認識。學生可能會在寫出任意角的三角函式的定義時出現困難，教師的幫助不要具體，而是在思維上引導——用座標表示，並引導學生正確認識三角函式的定義域。
預計的答案：如圖4，針對其中的圖（1）（2）（3）學生寫出，針對其中的圖（4）學生寫出，針對其中的圖（5）學生寫出，tanα無意義。
結論：給出三角函式的定義：（略）。
問題4：根據上述過程，你能寫出三角函式的定義域嗎？你能用函式的定義對三角函式進行分析嗎？
（設計意圖：順勢而為形成定義，並將三角函式的定義進行同化，通過這樣的活動強化學生對任意角三角函式定義的理解，達到對概念的初步精緻。）
預計的困難：學生對三角函式的自變數認識可能會存在問題。
教師的引導：引導學生利用單位圓的幾何意**釋正弦、余弦的值域。
預計的答案：設α是乙個任意角，它的終邊與單位圓交於點p（x,y）。
例1 求的正弦、余弦和正切值。
（設計意圖：鞏固對定義的理解。）
分析：根據定義求解，先利用銳角三角函式知識求出點p的座標，再根據定義求解。
解：如圖5，可知在rtδopc中，∠opc=30o，所以oc=，cp=，所以點p的座標是。
根據定義可得：
練習１ （p15練習3）完成下列**中的前兩列：
例2 已知角α的終邊經過點p（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。
（設計意圖：通過問題的轉化，進一步加深對定義的理解。）
分析：通過相似求出角α的終邊與單位圓的交點座標，之後再根據定義求解。
解：如圖6，由已知可得： |op0|=。
設角α的終邊與單位圓交於點p（x，y）,分別過點p和p0作x軸的垂線mp，m 0p0，則
又|op|=1，
根據∽δ，可得，即，
所以，。
所以。（說明：上述書寫過程基本與例1統一，這樣可以將該題目的求解思路同化，降低學習難度。）
問題5 通過本課時的學習你有哪些收穫，請從知識、思想方法經驗等方面進行小結。此外你還有哪些需要質疑之處。
（設計意圖：引導學生小結，並進一步思考。通過質疑引導學生全面認識三角函式，雖然在課堂上不研究其他3個三角函式，但是可以讓學生有乙個全面的認識，培養思維的嚴謹性。
通過三角函式定義的一般化，引導學生用辯證的觀點認識事物，理解三角函式。）
小結：知識：（略）；
思想方法：（略）；
經驗：用函式的觀點認識三角函式，用單位圓的幾何特徵研究三角函式。
拓展1：3個數可以形成6個比值，為什麼只對其中的三個比值進行定義和研究，其他3個比值又能對應什麼函式呢？有興趣的同學可以自己查閱資料進行研究。
拓展2：通過求解例2，你能發現還可以怎麼定義任意角的三角函式呢？請閱讀教材的旁白。這是三角函式定義的等價定義。
六、目標檢測設計
1．p15練習1，2，3；
（設計意圖：初步應用定義和等價定義。）
2．習題1.2a組2。
（設計意圖：培養學生模擬、對比解決問題能力。）
3．完成教材p13的**，之後完成p15練習4，6，把結果填在書上。
（設計意圖：將作業作為課堂教學的延伸，培養學生自主學習的能力和習慣。）
七．設計思路
1．突出單位圓的作用。具體表現在三個方面：第一是將銳角三角函式座標化，引入單位圓；第二是利用單位圓寫出任意角的三角函式；第三是利用單位圓寫出定義域及正弦、余弦的值域；第四是在例2的解決過程中建立單位圓與一般定義的關係。
2．用函式同化三角函式。給出任意角的三角函式的定義之後，用函式的定義對三角函式進行分析，將之納入到已有的認知結構中，並使得原有認知結構發生順應變化。
3．力求在數學的自然、必要和學生的認知之間尋找平衡點。
根據聽課時出現的問題，在本教學設計中採取了下列處理方式。
（1）先座標化再引入單位圓，降低認知台階。
從銳角三角函式到任意角三角函式這一段的處理基本尊重教材，這是因為在聽課過程中發現如果將「座標化」與「單位圓」兩個問題同時拋給學生，雖然能體現出做這兩個工作的必要性，但是跨度較大，學生感到困難，解決問題的過程費時費力，不但不能使學生感受到學習的必要性，反而制約了學生的思維。
任意角的三角函式
課題知識點能力目標德育目標本課重點 任意角的三角函式 1 任意角的三角函式概念能正確理解三角函式的概念培養學生探索精神三角函式的定義及理解 備註三角函式須在掌握概念的情況下，才能深入學習以後的知識，由此可見其重要性 本課難點三角函式的定義及理解 教課前練習 已知兩角,之差為1 其和為1弧度，則,的大...
任意角 三角函式關係
1 下列角中終邊與330 相同的角是 a 30 b 30 c 630 d 630 2 1120 角所在象限是 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 3 在與範圍內，找出與下列各角終邊相同的角，並判斷它們是第幾象限角？1 2 4 若角與的終邊在一條直線上，則與的關係是3 求所有與 5...
任意角的三角函式 二
教學目標 1 根據任意角三角函式定義，歸納出三角函式在各象限的符號，並能根據角的某種函式值符號，反饋出可能存在的象限 2 掌握誘導公式一，並能運用誘導公式把角的三角函式值轉化為中角的三角函式值 教學重點 終邊相同的角的同一三角函式值相等 教學難點 運用誘導公式把角的三角函式值轉化為中角的三角函式值 ...