一、選擇題
1.(2015·新課標全國卷ⅰ文科·t5)已知橢圓e的中心為座標原點,離心率為,e的右焦點與拋物線c:y2=8x的焦點重合,點a,b是c的準線與e的兩個交點,則= ( )
a.3b.6c.9d.12
【解析】選b.設橢圓e的方程為，依題意得，解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以橢圓e的方程為,因為拋物線c:y2=8x的準線為x=-2,將x=-2代入到,解得a(-2,3),b(-2,-3),故=6.
2. （2015·重慶高考理科·ｔ10）設雙曲線的右焦點為，右頂點為a，過f作af的垂線與雙曲線交於b,c兩點，過b，c分別作ac，ab的垂線，兩垂線交於點d，若d到直線bc的距離小於則該雙曲線的漸近線斜率的取值範圍是（ ）
a b c. d.
【解題指南】解答本題首先根據條件求出交點d的座標，然後利用距離小於求解漸近線斜率的取值範圍.
【解析】選a.由題意知，其中
聯立，可解得
所以ac的垂線bd的斜率為，直線方程為
ab的垂線cd的斜率為，直線方程為
聯立，解得
到直線bc：的距離
解得，所以，又雙曲線的漸近線為，所以該雙曲線的漸近線斜率的取值範圍是.
二、填空題
3.(2015·山東高考理科·t15)平面直角座標系xoy中,雙曲線c1: (a>0,b>0)的漸近線與拋物線c2:
x2=2py(p>0)交於點o,a,b,若△oab的垂心為c2的焦點,則c1的離心率為 .
【解題指南】本題是雙曲線與拋物線性質的綜合應用,應從焦點和垂心出發構造a,b,c和p的關係,進而求出離心率e.
【解析】由對稱性知△oab是以ab為底邊的等腰三角形,注意到雙曲線的漸近線方程為，拋物線的焦點，設點，則，由的垂心為，得，，消去得，即，所以，故.
答案：4.(2015·新課標全國卷ⅰ理科·t14)乙個圓經過橢圓+=1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標準方程為 .
【解題指南】設出圓的方程為(x-a)2+y2=r2,然後由兩點間距離公式求解.
【解析】設圓心為(a,0),則圓的方程為(x-a)2+y2=r2,依題意得，解得，
，所以圓的方程為.
答案:三、解答題
5.(2015·新課標全國卷ⅱ理科·t20)(12分)已知橢圓c:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點o且不平行於座標軸,l與c有兩個交點a,b,線段ab的中點為m.
(1)證明:直線om的斜率與l的斜率的乘積為定值.
(2)若l過點(,m),延長線段om與c交於點p,四邊形oapb能否為平行四邊形?若能,求此時l的斜率,若不能,說明理由.
【解題指南】(1)將直線y=kx+b(k≠0,b≠0)與橢圓c:9x2+y2=m2(m>0)聯立,結合根與係數的關係及中點座標公式證明.(2)由四邊形oapb為平行四邊形當且僅當線段ab與線段op互相平分求解證明.
【解析】(1)設直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),a(x1,y1),b(x2,y2),m(xm,ym).
將y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故，
.於是直線的斜率
即kom·k=-9,所以直線om的斜率與l的斜率的積是定值.
(2)四邊形oapb能為平行四邊形.
因為直線l過點(,m),所以l不過原點且與c有兩個交點的充要條件是k>0,k≠3.
由(1)得om的方程為y=-x.
設點p的橫座標為xp.
由，得，即.
將點的座標代入的方程得，因此
四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相評分，即.
於是，解得.
因為ki>0,ki≠3,i=1,2,所以當l的斜率為4-或4+時,四邊形oapb為平行四邊形.
6.(2015·新課標全國卷ⅰ理科·t20)(12分)在直角座標系xoy中,曲線c:y=與直線y=kx+a(a>0)交於m,n兩點,
(1)當k=0時,分別求c在點m和n處的切線方程.
(2)y軸上是否存在點p,使得當k變動時,總有∠opm=∠opn?說明理由.
【解析】(1)由題設可得m(2,a),n(-2,a),
或m(-2,a),n(2,a).
又y′=,故y=在x=2處的導數值為,曲線c在點(2,a)處的切線方程為y-a=(x-2),即x-y-a=0.
y=在x=-2處的導數值為-,曲線c在點(-2,a)處的切線方程為y-a=-(x+2),即x+y+a=0.
(2)存在符合題意的點p,證明如下:
設p(0,b)為符合題意的點,m(x1,y1),n(x2,y2),直線pm,pn的斜率分別為k1,k2.
將y=kx+a代入c的方程得x2-4kx-4a=0.
故x1+x2=4k,x1x2=-4a.
從而.當b=-a時,有k1+k2=0,
則直線pm的傾斜角與直線pn的傾斜角互補,故∠opm=∠opn,所以點p(0,-a)符合題意.
7. （2015·重慶高考理科·ｔ21）如題（21）圖，橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓於兩點，且
(1)若求橢圓的標準方程；
（2）若求橢圓的離心率.
【解題指南】（1）直接根據橢圓的定義即可求出橢圓的長軸長即焦距，從而可求出橢圓的方程，（2）根據橢圓的定義即可求解.
【解析】（1）由橢圓的定義，故
設橢圓的半焦距為，由已知
因此即從而
故所求橢圓的標準方程為
（2）如答（21）圖，設點在橢圓上，且則
求得由得，從而
由橢圓的定義，從而由
有因此即
於是解得
8. （2015·重慶高考文科·ｔ21）如題（21）圖，橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓於兩點，且
(1)若求橢圓的標準方程；
（2）若試確定橢圓離心率的取值範圍.
【解題指南】（1）直接根據橢圓的定義即可求出橢圓的長軸長即焦距，從而可求出橢圓的方程，（2）將離心率整理成關於的函式，然後根據函式的單調性進行根求解.
【解析】（1）由橢圓的定義，故
設橢圓的半焦距為，由已知
因此即從而
故所求橢圓的標準方程為
（2）如答（21）圖，由得
由橢圓的定義，從而有
於是解得故
由勾股定理得
從而兩邊除以，得
若記則上式變成
由並注意到關於的單調性，得
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