【考點1】求軌跡方程
【備考知識梳理】
1．曲線與方程
在平面直角座標系中，如果某曲線c(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與乙個二元方程的實數解建立了如下的關係：
(1)曲線上點的座標都是這個方程的解；
(2)以這個方程的解為座標的點都在曲線上．那麼，這個方程叫做這條曲線的方程；這條曲線叫做這個方程的曲線.
2．直接法求動點的軌跡方程的一般步驟
(1)建系——建立適當的座標系．
(2)設點——設軌跡上的任一點p(x，y)．
(3)列式——列出動點p所滿足的關係式．
(4)代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x，y的方程式，並化簡．
(5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程．
【規律方法技巧】
1. 求軌跡方程的常用方法一般分為兩大類，一類是已知所求曲線的型別，求曲線方程——先根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定係數——待定係數法；另一類是不知曲線型別常用的方法有：
(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關係f(x，y)＝0；
(2)定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；
(3)代入法(相關點法)：動點p(x，y)依賴於另一動點q(x0，y0)的變化而變化，並且q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；
(4)引數法：當動點p(x，y)座標之間的關係不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x，y均用一中間變數(引數)表示，得引數方程，再消去引數得普通方程．
2. 求點的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應先求軌跡方程，然後根據方程說明軌跡的形狀、位置、大小等
【考點針對訓練】
1.【2016江省衢州市高三4月教學質量檢測】設點是曲線上任意一點，
其座標均滿足，則取值範圍為（ ）
abcd. 【答案】d
2.【2016江西省高安中學高三命題中心押題】在平面直角座標系中，兩點的座標分別為、，動點滿足:直線與直線的斜率之積為．
（1）求動點的軌跡方程；
（2）設為動點的軌跡的左右頂點，為直線上的一動點（點不在x軸上），連交
的軌跡於點，連並延長交的軌跡於點，試問直線是否過定點？若成立，請求出該定點座標，
若不成立，請說明理由．
【解析】（1）已知，設動點的座標，所以直線的斜率，
直線的斜率（），又，所以，即．
（2）設，又，則，故直線的方程為：，
代入橢圓方程並整理得：。由韋達定理：即，，
同理可解得：
故直線的方程為，即，故直線恆過定點．
【考點2】圓錐曲線間的綜合
【備考知識梳理】
1.要熟記橢圓的定義、標準方程與幾何性質.
2.要熟練掌握雙曲線的定義、標準方程與幾何性質.
3.要熟練掌握拋物線的定義、標準方程與幾何性質.
【規律方法技巧】
1. 解圓錐曲線間的綜合問題時，要結合影象進行分析，理清所涉及到圓錐曲線間基本量之間的關係，實現不同曲線間基本量的轉化.
2.熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、簡單幾何性質是解題的關鍵.
【考點針對訓練】
1.【2016江西省高安中學高三命題中心模擬】已知拋物線的焦點與雙曲線
的一焦點重合，則該雙曲線的離心率為（ ）
abcd. 【答案】a．
2.【2016屆寧夏六盤山高中高三四模】橢圓的右焦點為，雙曲線的
一條漸近線與橢圓交於兩點，且，則橢圓的離心率為答案】
【考點3】直線與圓錐曲線位置關係的綜合問題
【備考知識梳理】
1.將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去y得到關於x的方程.
(1) 若≠0，當△＞0時，直線與圓錐曲線有兩個交點.
當△=0時，直線與圓錐曲線有且只有乙個公共點，此時直線與雙曲線相切.
當△＜0時，直線與圓錐曲線無公共點.
（2）當=0時，若圓錐曲線為雙曲線，則直線與雙曲線只有乙個交點，此時直線與雙曲線的漸近線平行；
若圓錐曲線為拋物線，則直線與拋物線只有乙個交點，此時直線與拋物線的對稱軸平行.
（3）設直線與圓錐曲線的交點a（，），b（，），則，.
2.直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓相交於a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點，則弦長|ab|＝ |x1－x2|
＝·＝·|y1－y2|＝·.
【規律方法技巧】
1.在處理直線與圓錐曲線的位置關係問題時，常用設而不求法，即常將圓錐曲線與直線聯立，消去（或）化為關於（或）的一元二次方程，設出直線與圓錐曲線的交點座標，則交點的橫（縱）座標即為上述一元二次方程的解，利用根與係數關係，將，表示出來，注意判別式大於零不能丟，然後根據問題，再通過配湊將其化為關於與的式子，將，代入再用有關方法取處理，注意用向量法處理共線問題、垂直問題及平行問題.
2.再處理直線與圓錐曲線位置關係問題時，首先確定直線的斜率，若不能確定，則需要分成直線斜率存在與不存在兩種情況討論，也可以將直線方程設為，避免分類討論.
3.定點與定值問題處理方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定點（定值），再證明這個定點（定值）與變數無關.
(2)直接推理、計算，並在計算過程中消去變數，從而得到定點（定值）.
4.最值問題常見解法有兩種：
（1）幾何法：若題中的條件與結論有明顯的幾何特徵和意義，則考慮利用圖形的幾何性質來解決，如三角不等式、圓錐曲線的定義等.
(2)代數法：利用相關知識和方法結合題中的條件，建立目標函式，利用函式的性質、不等式或導數知識求出這個函式的最值.
5.引數範圍問題常見解法有兩種：
（1）不等式法：利用題意結合圖形列出所討論引數滿足的不等式（組），通過解不等式（組）解出引數的範圍，注意判別式大於0不能遺漏.
(2)函式最值法：利用題中條件和相關知識，將所討論引數表示為某個變數的函式，通過討論這個函式的值域求出該引數的範圍.
6.對探索性問題，先假設存在，依此為基礎推理，若推出矛盾，則不存在，求出值，則存在.
7.直線與圓錐曲線位置關係中的中點弦問題常用點差法和引數法.
【考點針對訓練】
1.【2016屆邯鄲市一中高三十研】已知橢圓過點，離心率為，點分別為其左右焦點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若上存在兩個點，橢圓上有兩個點滿足三點共線，三點共線，且，求四邊形面積的最小值．
2.【2023年河南八市重點高中聯考】已知橢圓的右焦點為，過作互相垂直的兩條直線分別與相交於和四點.
（1）四邊形能否成為平行四邊形，請說明理由；
（2）求的最小值.
【解析】設點
(ⅰ)若四邊形為平行四邊形，則四邊形為菱形，∴與在點處互相平分，又f的座標為,由橢圓的對稱性知垂直於軸，則垂直於軸，顯然這時不是平行四邊形．
∴四邊形不可能成為平行四邊形.
【應試技巧點撥】
1.求圓錐曲線方程的方法
求曲線方程的常見方法：
(1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關係，直接座標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程
(2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求
(3)相關點法：即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴於它，那麼可尋求它們座標之間的關係，然後代入定曲線的方程進行求解根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程
(4)引數法：若動點的座標()中的分別隨另一變數的變化而變化，我們可以以這個變數為引數，建立軌跡的引數方程.根據題中給定的軌跡條件，用乙個引數來分別動點的座標，間接地把座標聯絡起來，得到用引數表示的方程.
如果消去引數，就可以得到軌跡的普通方程.
注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程後，再進一步說明軌跡是什麼樣的曲線.
(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區別「軌跡」與「軌跡方程」是兩個不同的概念.
(5)待定係數法：①頂點在原點，對稱軸為座標軸的拋物線，可設為或()，避開對焦點在哪個半軸上的分類討論，此時不具有的幾何意義．
②中心在座標原點，焦點在座標軸上，橢圓方程可設為 ()，雙曲線方程可設為 ()．這樣可以避免繁瑣的計算．
利用以上設法，根據所給圓錐曲線的性質求出引數，即得方程．
2.最值或範圍問題的解決方法
解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種：
(1)利用函式，尤其是二次函式求最值；
(2)利用三角函式，尤其是正、余弦函式的有界性求最值；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值；
(4)利用判別式求最值；
(5)利用數形結合，尤其是切線的性質求最值．
3.求定值問題的方法
定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解方法是：先用變數表示所需證明的不變數，然後通過推導和已知條件，消去變數，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變數問題，最後才是定值問題．
4.有關弦的問題
(1)有關弦長問題，應注意運用弦長公式及根與係數的關係，「設而不求」；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算．
①斜率為的直線與圓錐曲線交於兩點，，則所得弦長或，其中求與時通常使用根與係數的關係，即作如下變形：
，.②當斜率不存在時，可求出交點座標，直接運算(利用兩點間距離公式)．
(2)弦的中點問題
有關弦的中點問題，應靈活運用「點差法」，「設而不求法」來簡化運算．
5.圓錐曲線的定義反映了它們的基本特徵，理解定義是掌握其性質的基礎.因此，對於圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求.
6.解決直線與圓錐曲線位置關係問題的步驟：
(1)設方程及點的座標；
(2)聯立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項係數是否為零)；
(3)應用根與係數的關係及判別式；
(4)結合已知條件、中點座標公式、斜率公式及弦長公式求解
7.解析幾何解題的基本方法
解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質，注意挖掘知識的內在聯絡及其規律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯立，應用判別式、韋達定理的意識.解析幾何應用問題的解題關鍵是建立適當的座標系，合理建立曲線模型，然後轉化為相應的代數問題作出定量或定性的分析與判斷.
常用的方法：數形結合法，以形助數，用數定形. 在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助於「平面幾何性質」數形結合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、「方程與函式性質」化解析幾何問題為代數問題、「分類討論思想」化整為零分化處理、「求值構造等式、求變數範圍構造不等關係」等等.
測試12圓錐曲線綜合
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圓錐曲線綜合 板塊八 圓錐曲線綜合問題 學生版
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9 圓錐曲線學生版
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