2012版高考數學 3-2-1精品系列專題08 圓錐曲線理 （教師版2）
17 (2011·黃岡期末)過雙曲線(a>0,b>0)的乙個焦點作一條漸近線的垂線，垂足恰好落在曲線上，則雙曲線的離心率為_____
19. (2011承德期末)雙曲線的乙個焦點為，頂點為，，p是雙曲線上任意一點，則分別以線段為直徑的兩圓一定（ b ）
a．相交b．相切c．相離 d．以上情況都有可能
20．（2011佛山一檢）已知雙曲線與拋物線有乙個公共的焦點，且兩曲線的乙個交點為，若，則雙曲線的漸近線方程為(b)
a． b． c． d．
20（2011福州期末）若雙曲線的焦點到其漸近線的距離等於實軸長，則該雙曲線的離心率為
a ）
a． b．5 c． d．2
21．（2011哈爾濱期末）拋物線上一點到直線的距離最短，則該點的座標是（ c ）
abc． d．
22．（2011哈爾濱期末）雙曲線的離心率為2，則的最小值為（ a ）
abcd．
24．（2011哈爾濱期末）已知是橢圓上一點，兩焦點為，點是的內心，連線並延長交於，則的值為 （ a ）
a． b． c． d．
25．（2011哈爾濱期末）是拋物線的一條焦點弦，若，則的中點到直線的距離為
則28、(2011·錦州期末)雙曲線=1（b∈n）的兩個焦點、，為雙曲線上一點，成等比數列，則=____1_____
29．（2011·金華十二校一聯）若，則方程表示的曲線只可能是（ c ）
30．（2011·金華十二校一聯）設分別為雙曲線的左右焦點，為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線某條漸近線於兩點，且滿足，則該雙曲線的離心率為
31．(2011·南昌期末)設圓的圓心在雙曲線的右焦點上，且與此雙曲線的漸近線相切，若圓被直線截得的弦長等於2，則( c )
abcd．
55．（2011·九江七校二月聯考）設拋物線=2x的焦點為f，過點m（，0）的直線與拋物線相交於a，b兩點，與拋物線的準線相交於c，=2，則與的面積之比=（ d ）
abcd．
解答題1．（2011北京朝陽區期末）設橢圓：的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸於點，且，若過，，三點的圓恰好與直線：相切.
過定點的直線與橢圓交於，兩點（點在點，之間）. （ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）設直線的斜率，在軸上是否存在點
，使得以，為鄰邊的平行四
邊形是菱形. 如果存在，求出的取值範圍，
如果不存在，請說明理由；
（ⅲ）若實數滿足，求的取值範圍.
.設，，則. ……5分
所以. =，.
由於菱形對角線互相垂直，則. …6分
所以.故.
因為，所以. 所以
即.所以
解得. 即.因為，所以.
故存在滿足題意的點且的取值範圍是. ……… 8分
（ⅲ）①當直線斜率存在時，設直線方程為，代入橢圓方程
即. 所以.解得. 又，所以.……… 13分
②又當直線斜率不存在時，直線的方程為，此時，，，，，所以.所以，即所求的取值範圍是.…… 14分
2. （2011北京豐台區期末）已知為平面直角座標系的原點，過點的直線與圓交於兩點．（ⅰ）若，求直線的方程；（ⅱ）若與的面積相等，求直線的斜率．
解：（ⅰ）依題意，直線的斜率存在，因為直線過點，可設直線：．
因為兩點在圓上，所以 ，因為 ，所以所以所以到直線的距離等於．所以 ， 得，所以直線的方程為或．
（ⅱ）因為與的面積相等，所以，
3 （2011北京西城區期末）已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.（ⅰ）若，求橢圓的方程；（ⅱ）設直線與橢圓相交於，兩點，分別為線段的中點. 若座標原點在以為直徑的圓上，且，求的取值範圍.
解：（ⅰ）由題意得，得. …2分結合，解得，.…3分
所以，橢圓的方程為…4分
（ⅱ）由得. 設.所以
，……6分依題意，，易知，四邊形為平行四邊形，
因為，所以，.11分所以，即.
4（（2011巢湖一檢）已知直線，橢圓e：．（ⅰ）若不論k取何值，直線與橢圓e恒有公共點，試求出m的取值範圍及橢圓離心率e關於m的函式式；（ⅱ）當時，直線與橢圓e相交於a、b兩點，與y軸交於點m，若,求橢圓e方程．
解：(ⅰ)∵直線恆過定點m(0，1)，且直線與橢圓e恒有公共點，∴點m(0，1)在橢圓e上或其內部，得，解得.(聯立方程組，用判別式法也可)當時，橢圓的焦點在軸上，；當時，橢圓的焦點在軸上，.
∴(ⅱ)由，消去得.
設，，則①，②.
∵m(0，1)，∴由得 ③. 由①③得 ④.
將③④代入②得， ，解得(不合題意，捨去).
∴橢圓e的方程為.
5 (2011承德期末)橢圓的方程為，斜率為1的直線與橢圓交於兩點.ⅰ）若橢圓的離心率，直線過點，且，求橢圓的方程；（ⅱ）直線過橢圓的右焦點f，設向量，若點在橢圓上，求的取值範圍.
（ⅱ）得
，.=（，）, .
∵點在橢圓上 ，將點座標代入橢圓方程中得.
∵ ,
12分6．（2011佛山一檢）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個頂點， 為橢圓上的動點.（ⅰ）求橢圓的標準方程；（ⅱ）若與均不重合，設直線與的斜率分別為，證明：為定值；（ⅲ）為過且垂直於軸的直線上的點，若，求點的軌跡方程，並說明軌跡是什麼曲線．
（ⅲ）設，其中．
由已知及點在橢圓上可得，
整理得，其中
①當時，化簡得，所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行於軸的線段；
②當時，方程變形為，其中，
當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓．
7．（2011福州期末） 如圖，為半圓，ab為半圓直徑，o為半圓圓心，且，q為線段od的中點，已知|ab|=4，曲線c過q點，動點p在曲線c上運動且保持|pa|+|pb|的值不變。 （ⅰ）建立適當的平面直角座標系，求曲線c的方程；（ⅱ）過點b的直線與曲線c交於m、n兩點，與od所在直線交於e點，若為定值。
解：（ⅰ）以ab、od所在直線分別為x軸、y軸，
o為原點，建立平面直角座標系，∵動點p在曲線c上運動
且保持|pa|+|pb|的值不變．且點q在曲線c上,
∴|pa|+|pb|=|qa|+|qb|=2＞|ab|=4．∴曲線c是為以原點為中心，a、b為焦點的橢圓設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1．∴曲線c的方程為+y2=1
（ⅱ）證法1：設點的座標分別為，
又易知點的座標為．且點b在橢圓c內,故過點b的直線l必與橢圓c相（ⅱ）證法2：設點的座標分別為，又易知點的座標為．且點b在橢圓c內,故過點b的直線l必與橢圓c相交．顯然直線的斜率存在，設直線的斜率為 ，則直線的方程是 ．將直線的方程代入到橢圓的方程中，消去並整理得． 8分∴ ，．又 ∵，則．∴，同理，由，∴10分 ∴． 12分
8（ 2011廣東廣雅中學期末）已知橢圓的中心為座標原點o，橢圓短半軸長為1，動點在直線上。（1）求橢圓的標準方程（2）求以om為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；（3）設f是橢圓的右焦點，過點f作om的垂線與以om為直徑的圓交於點n，求證：線段on的長為定值，並求出這個定值。
（2）以om為直徑的圓的方程為即
其圓心為,半徑……6分因為以om為直徑的圓被直線截得的弦長為2所以圓心到直線的距離 …8分所以，解得所求圓的方程為…10分
（3）方法一：由平幾知：直線om：，直線fn：…12分由得
所以線段on的長為定值。……14分
方法二、設，則
………12分
又所以，為定值 …14分
9（2011哈爾濱期末）橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，該橢圓經過點且離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓相交兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，並求出該定點的座標．
以為直徑的圓過橢圓的右頂點，，
，，，且均滿足，
當時，的方程為，則直線過定點與已知矛盾
當時，的方程為，則直線過定點
直線過定點，定點座標為
10．(2011湖北八校一聯) 已知雙曲線的左、右頂點分別為a1、a2，動直線與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為
（i）求k的取值範圍，並求的最小值；
（ii）記直線是定值嗎？證明你的結論。
解： （ⅰ）與圓相切
由 , 得 ,
,,故的取值範圍為.
由於， 當時，取最小值6分
（ⅱ）由已知可得的座標分別為，， ，
由①，得 ， 為定值. 12分
11．（2011·湖北重點中學二聯）（本小題滿分12分）已知點是橢圓上任意一點，直線的方程為 （i）判斷直線與橢圓e交點的個數； （ii）直線過p點與直線垂直，點m（-1，0）關於直線的對稱點為n，直線pn恆過一定點g，求點g的座標。
（2）直線的方程為即………………6分
設關於直線的對稱點的座標為
則解得……8分
直線的斜率為
從而直線的方程為
即從而直線恆過定點…………12分
12. (2011·惠州三調)（本題滿分14分）已知橢圓：的離心率為，過座標原點且斜率為的直線與相交於、，．⑴求、的值；⑵若動圓與橢圓和直線都沒有公共點，試求的取值範圍．
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