橢圓與雙曲線的性質
橢圓1. 點p處的切線pt平分△pf1f2在點p處的外角.
2. pt平分△pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.
4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.
5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.
6. 若在橢圓外 ，則過po作橢圓的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.
7. 橢圓(a＞b＞0)的左右焦點分別為f1，f 2，點p為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.
8. 橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：
, ( , ).
9. 設過橢圓焦點f作直線與橢圓相交 p、q兩點，a為橢圓長軸上乙個頂點，鏈結ap 和aq分別交相應於焦點f的橢圓準線於m、n兩點，則mf⊥nf.
10. 過橢圓乙個焦點f的直線與橢圓交於兩點p、q, a1、a2為橢圓長軸上的頂點，a1p和a2q交於點m，a2p和a1q交於點n，則mf⊥nf.
11. ab是橢圓的不平行於對稱軸的弦，m為ab的中點，則，
即。12. 若在橢圓內，則被po所平分的中點弦的方程是.
13. 若在橢圓內，則過po的弦中點的軌跡方程是.
雙曲線1. 點p處的切線pt平分△pf1f2在點p處的內角.
2. pt平分△pf1f2在點p處的內角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相交.
4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：p在右支；外切：p在左支）
5. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.
6. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過po作雙曲線的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.
7. 雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為f1，f 2，點p為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.
8. 雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,
當在右支上時，,.
當在左支上時，,
9. 設過雙曲線焦點f作直線與雙曲線相交 p、q兩點，a為雙曲線長軸上乙個頂點，鏈結ap 和aq分別交相應於焦點f的雙曲線準線於m、n兩點，則mf⊥nf.
10. 過雙曲線乙個焦點f的直線與雙曲線交於兩點p、q, a1、a2為雙曲線實軸上的頂點，a1p和a2q交於點m，a2p和a1q交於點n，則mf⊥nf.
11. ab是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行於對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。
12. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被po所平分的中點弦的方程是.
13. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則過po的弦中點的軌跡方程是.
橢圓與雙曲線的對偶性質--（會推導的經典結論）
橢圓1. 橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓於p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.
2. 過橢圓(a＞0, b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓於b,c兩點，則直線bc有定向且（常數）.
3. 若p為橢圓（a＞b＞0）上異於長軸端點的任一點,f1, f 2是焦點, ,，則.
4. 設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為f1、f2,p（異於長軸端點）為橢圓上任意一點，在△pf1f2中，記, ,，則有.
5. 若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點p，使得pf1是p到對應準線距離d與pf2的比例中項.
6. p為橢圓（a＞b＞0）上任一點,f1,f2為二焦點，a為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.
7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是.
8. 已知橢圓（a＞b＞0），o為座標原點，p、q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最大值為;（3）的最小值是.
9. 過橢圓（a＞b＞0）的右焦點f作直線交該橢圓右支於m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸於p，則.
10. 已知橢圓（a＞b＞0） ,a、b、是橢圓上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交於點, 則.
11. 設p點是橢圓（a＞b＞0）上異於長軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，則(1).
(2).
12. 設a、b是橢圓（ a＞b＞0）的長軸兩端點，p是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).
13. 已知橢圓（ a＞b＞0）的右準線與x軸相交於點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交於a、b兩點,點在右準線上，且軸，則直線ac經過線段ef 的中點.
14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.
15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線於一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.
16. 橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).
（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.）
17. 橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.
18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.
橢圓與雙曲線的對偶性質--（會推導的經典結論）
雙曲線1. 雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線於p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.
2. 過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線於b,c兩點，則直線bc有定向且（常數）.
3. 若p為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,f1, f 2是焦點, ,，則（或）.
4. 設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為f1、f2,p（異於長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△pf1f2中，記, ,，則有.
5. 若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點p，使得pf1是p到對應準線距離d與pf2的比例中項.
6. p為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,f1,f2為二焦點，a為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.
7. 雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.
8. 已知雙曲線（b＞a ＞0），o為座標原點，p、q為雙曲線上兩動點，且.
（1）;（2）|op|2+|oq|2的最小值為;（3）的最小值是.
9. 過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點f作直線交該雙曲線的右支於m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸於p，則.
10. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）,a、b是雙曲線上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交於點, 則或.
11. 設p點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異於實軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，則(1).(2).
12. 設a、b是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，p是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).
13. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交於點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交於a、b兩點,點在右準線上，且軸，則直線ac經過線段ef 的中點.
14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.
15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線於一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.
16. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).
(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點).
17. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.
18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項.
圓錐曲線問題解題方法
圓錐曲線中的知識綜合性較強，因而解題時就需要運用多種基礎知識、採用多種數學手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準確解題，還須掌握一些方法和技巧。
一. 緊扣定義，靈活解題
靈活運用定義，方法往往直接又明了。
例1. 已知點a（3，2），f（2，0），雙曲線，p為雙曲線上一點。
求的最小值。
解析：如圖所示，
雙曲線離心率為2，f為右焦點，由第二定律知即點p到準線距離。
二. 引入引數，簡捷明快
引數的引入，尤如化學中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。
例2. 求共焦點f、共準線的橢圓短軸端點的軌跡方程。
解：取如圖所示的座標系，設點f到準線的距離為p（定值），橢圓中心座標為m（t，0）（t為引數）
，而再設橢圓短軸端點座標為p（x，y），則
消去t，得軌跡方程
三. 數形結合，直觀顯示
將「數」與「形」兩者結合起來，充分發揮「數」的嚴密性和「形」的直觀性，以數促形，用形助數，結合使用，能使複雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。
例3. 已知，且滿足方程，又，求m範圍。
解析：的幾何意義為，曲線上的點與點（－3，－3）連線的斜率，如圖所示
四. 應用平幾，一目了然
用代數研究幾何問題是解析幾何的本質特徵，因此，很多「解幾」題中的一些圖形性質就和「平幾」知識相關聯，要抓住關鍵，適時引用，問題就會迎刃而解。
例4. 已知圓和直線的交點為p、q，則的值為________。
解：五. 應用平面向量，簡化解題
向量的座標形式與解析幾何有機融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識的有力工具。
例5. 已知橢圓：，直線：，p是上一點，射線op交橢圓於一點r，點q在op上且滿足，當點p在上移動時，求點q的軌跡方程。
分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡便地解出。
解：如圖，共線，設，，，則，
點r在橢圓上，p點在直線上
（直線上方部分）
六. 應用曲線系，事半功倍
利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。
例6. 求經過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程。
圓錐曲線解題技巧
圓錐曲線應試技巧總結 1.圓錐曲線的兩個定義 1 第一定義中要重視 括號 內的限制條件 橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡 雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一定要小於 ff 定義中的 絕對值 ...
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高考數學圓錐曲線及解題技巧
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