橢圓的定義、性質及標準方程
1. 橢圓的定義：
⑴第一定義：平面內與兩個定點的距離之和等於常數（大於）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。
⑵第二定義：動點到定點的距離和它到定直線的距離之比等於常數，則動點的軌跡叫做橢圓。
定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數叫做橢圓的離心率。
說明：①若常數等於，則動點軌跡是線段。
②若常數小於，則動點軌跡不存在。
2. 橢圓的標準方程、圖形及幾何性質：
3. 焦半徑公式：
橢圓上的任一點和焦點鏈結的線段長稱為焦半徑。
焦半徑公式：橢圓焦點在軸上時，設分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上任一點，則，。
推導過程：由第二定義得（為點到左準線的距離），
則；同理得。
簡記為：左「＋」右「－」。
由此可見，過焦點的弦的弦長是乙個僅與它的中點的橫座標有關的數。
；若焦點在軸上，則為。有時為了運算方便，設。
雙曲線的定義、方程和性質
知識要點：
1． 定義
（1）第一定義：平面內到兩定點f1、f2的距離之差的絕對值等於定長2a（小於|f1f2|）的點的軌跡叫雙曲線。
說明：①||pf1|-|pf2||=2a（2a<|f1f2|）是雙曲線；
若2a=|f1f2|，軌跡是以f1、f2為端點的射線；2a>|f1f2|時無軌跡。
②設m是雙曲線上任意一點，若m點在雙曲線右邊一支上，則|mf1|>|mf2|，|mf1|-|mf2|=2a；若m在雙曲線的左支上，則|mf1|<|mf2|，|mf1|-|mf2|=-2a，故|mf1|-|mf2|=±2a，這是與橢圓不同的地方。
（2）第二定義：平面內動點到定點f的距離與到定直線l的距離之比是常數e（e>1）的點的軌跡叫雙曲線，定點叫焦點，定直線l叫相應的準線。
2． 雙曲線的方程及幾何性質
3． 幾個概念
（1） 等軸雙曲線：實、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=±x，離心率為。
（2） 共軸雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例：的共軸雙曲線是。
1 雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線；②雙曲線和它的共軸雙曲線的四個焦點在同乙個圓周上。
拋物線標準方程與幾何性質
一、拋物線定義的理解
平面內與乙個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點為拋物線的焦點，定直線為拋物線的準線。
注： 定義可歸結為「一動三定」：乙個動點設為；一定點（即焦點）；一定直線（即準線）；一定值1（即動點到定點的距離與它到定直線的距離之比1）
定義中的隱含條件：焦點不在準線上。若在上，拋物線退化為過且垂直於的一條直線
圓錐曲線的統一定義：平面內與一定點和定直線的距離之比為常數的點的軌跡，當時，表示橢圓；當時，表示雙曲線；當時，表示拋物線。
拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關係，在解題中常將拋物線上的動點到焦點距離（稱焦半徑）與動點到準線距離互化，與拋物線的定義聯絡起來，通過這種轉化使問題簡單化。
二、拋物線標準方程
1．拋物線標準方程建系特點：以拋物線的頂點為座標原點，對稱軸為一條座標軸建立直角座標系，這樣使標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數項，形式更為簡單，便於應用。
2．四種標準方程的聯絡與區別：由於選取座標系時，該座標軸有四種不同的方向，因此拋物線的標準方程有四種不同的形式。拋物線標準方程的四種形式為：，，其中：
引數的幾何意義：焦引數是焦點到準線的距離，所以恒為正值；值越大，張口越大；等於焦點到拋物線頂點的距離。
標準方程的特點：方程的左邊是某變數的平方項，右邊是另一變數的一次項，方程右邊一次項的變數與焦點所在座標軸的名稱相同，一次項係數的符號決定拋物線的開口方向，即對稱軸為軸時，方程中的一次項變數就是， 若的一次項前符號為正，則開口向右，若的一次項前符號為負，則開口向左；若對稱軸為軸時，方程中的一次項變數就是， 當的一次項前符號為正，則開口向上，若的一次項前符號為負，則開口向下。
三、求拋物線標準方程
求拋物線方程時，要依據題設條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標準方程.
待定係數法：因拋物線標準方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需乙個條件就能解出待定係數，因此要做到「先定位，再定值」。
注：當求頂點在原點，對稱軸為座標軸的拋物線時，若不知開口方向，可設為或，這樣可避免討論。
拋物線軌跡法：若由已知得拋物線是標準形式，可直接設其標準式；若不確定是否是標準式，由已知條件可知曲線的動點的規律，一般用軌跡法求之。
四、拋物線的簡單幾何性質
注： 焦點的非零座標是一次項係數的；
對於不同形式的拋物線，位置不同，其性質也有所不同，應弄清它們的異同點，數形結合，掌握方程與有關特徵量，有關性質間的對應關係，從整體上認識拋物線及其性質。
五、直線與拋物線有關問題
1．直線與拋物線的位置關係的判斷：直線與拋物線方程聯立方程組，消去或化得形如（*）的式子：
當時，（*）式方程只有一解，即直線與拋物線只有乙個交點，此時直線與拋物線不是相切，而是與拋物線對稱軸平行或重合；
當時，若△＞0（*）式方程有兩組不同的實數解直線與拋物線相交；
若△=0（*）式方程有兩組相同的實數解直線與拋物線相切；
若△＜0（*）式方程無實數解直線與拋物線相離.
2．直線與拋物線相交的弦長問題
弦長公式：設直線交拋物線於，則
或.若直線與拋物線相交所得弦為焦點弦時,借助於焦半徑公式處理：
拋物線上一點的焦半徑長是，拋物線上一點的焦半徑長是
六、拋物線焦點弦的幾個常用結論
設為過拋物線焦點的弦，設，直線的傾斜角為，則
①； ② ；
③以為直徑的圓與準線相切；
④弦兩端點與頂點所成三角形的面積；
⑤ ；
焦點對、在準線上射影的張角為900；
七、拋物線有關注意事項
1．凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，採用「設而不求」或「點差法」等方法，能避免求交點座標的複雜運算.同時在解決直線與拋物線相交問題時不能忽視這個條件。
2．解決與拋物線的焦半徑、焦點弦有關問題時，多從拋物線的定義出發，實現拋物線上任一點到焦點的距離和這點到準線的距離之間的相互轉化，並應注意焦點弦的幾何性質.
中學高三數學第二輪複習作業第12講
（橢圓、雙曲線、拋物線）
一、 選擇題：
1.橢圓與雙曲線有公共焦點，則橢圓的離心率是（ ）
（a） （b） （c） （d）
2.橢圓（）的半焦距為，若直線與橢圓的乙個交點的橫座標恰為，則橢圓的離心率為（ ）（a） （b） （c） （d）
3.已知是三角形的乙個內角，且，則方程表示（ ）
（a）焦點在軸上的橢圓b）焦點在軸上的橢圓
（c）焦點在軸上的雙曲線d）焦點在軸上的雙曲線
4.設是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，且，則的值等於（ ）
（a）2 （b） （c）4 （d）8
5.如果雙曲線上一點到它的左焦點的距離是8，那麼點到它的右準線的距離是（ ）
（a） （b） （c） （d）
6.設p為拋物線上的動點，定點a（0，-1）。點m分有向線段所成的比為2，則點m的軌跡方程為（ ）
(a） (b) (c) (d)
二、 填空題：
7. 一輛卡車高3公尺，寬1 6公尺，欲通過拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長，若拱口寬為a公尺，則能使卡車通過的a的最小整數值是____
8.橢圓上的點到直線的最大距離是
9.直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點p，若過點p且以雙曲線12x2－4y2=3的焦點作橢圓的焦點，那麼具有最短長軸的橢圓方程為_________
是橢圓長軸的乙個端點，o是橢圓的中心，若橢圓上存在一點p，使∠opa=,則橢圓離心率的範圍是_________
三、 解答題：
11.橢圓c的中心在原點，焦點f1、f2在x軸上，點p為橢圓上的乙個動點，且∠f1pf2的最大值為90°，直線l過左焦點f1與橢圓交於a、b兩點，△abf2的面積最大值為12．求橢圓c的離心率及其方程.
12.已知拋物線c y2=4x
(1)若橢圓左焦點及相應的準線與拋物線c的焦點f及準線l分別重合，試求橢圓短軸端點b與焦點f連線中點p的軌跡方程；
(2)若m(m,0)是x軸上的一定點，q是(1)所求軌跡上任一點，試問|mq|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由
13.設橢圓的左焦點為，上頂點為，過點與垂直的直線分別交橢圓和軸正半軸於，兩點，且分有向線段所成的比為．
（1）求橢圓的離心率；（2）若過三點的圓恰好與直線：相切，求橢圓方程．
圓錐曲線的定義 方程和性質知識總結及試題
橢圓的定義 性質及標準方程 1.橢圓的定義 第一定義 平面內與兩個定點的距離之和等於常數 大於 的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。第二定義 動點到定點的距離和它到定直線的距離之比等於常數，則動點的軌跡叫做橢圓。定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數叫做橢...
圓錐曲線和方程知識點
高中數學第八章 圓錐曲線方程 考試內容 數學探索版權所有橢圓及其標準方程 橢圓的簡單幾何性質 橢圓的引數方程 數學探索版權所有雙曲線及其標準方程 雙曲線的簡單幾何性質 數學探索版權所有拋物線及其標準方程 拋物線的簡單幾何性質 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有掌握橢圓的定義 標準方程和橢圓的...
圓錐曲線標準方程與幾何性質
1 橢圓的標準方程與幾何性質 1 橢圓第一定義 平面內與兩個定點的距離的和等於常數 大於 的點的軌跡叫做橢圓 這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫橢圓焦距 2 橢圓第二定義 平面內到乙個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數的點的軌跡叫做橢圓 定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數叫...