矩形、菱形的性質定理和判定定理及其證明
2023年習題精選
一、填空題（共15小題，每小題5分，滿分75分）
1、矩形的兩條對角線的夾角為60°，一條對角線與短邊的和為15 cm，則短邊的邊長為 5 cm．
考點：矩形的性質；等邊三角形的判定與性質。
專題：計算題。
分析：本題首先求證由兩條對角線的夾角為60°的角為等邊三角形，易求出短邊邊長．
解答：解：已知矩形的兩條對角線的夾角為60°，根據矩形的性質可求得由兩條對角線的夾角為60°的三角形為等邊三角形．
又因為一條對角線與短邊的和為15cm，所以短邊的邊長為5cm．
故答案為5．
點評：本題考查的是矩形的性質（對角線相等），難度一般．
2、如圖，設矩形abcd和矩形aefc的面積分別為s1、s2，則二者的大小關係是：s1 = s2．
考點：矩形的性質。
分析：由於矩形abcd的面積等於2個△abc的面積，而△abc的面積又等於矩形aefc的一半，所以可得兩個矩形的面積關係．
解答：解：矩形abcd的面積s=2s△abc，而s△abc=s矩形aefc，即s1=s2，故此題答案為=．
點評：本題主要考查了矩形的性質及面積的計算，能夠熟練運用矩形的性質進行一些面積的計算問題．
3、若矩形的乙個角的平分線分一邊為4cm和3cm的兩部分，則矩形的周長為 22或20 cm．
考點：矩形的性質。
分析：本題需分兩種情況解答．
即矩形的乙個角的平分線分一邊為4cm和3cm，或者矩形的角平分分一邊為3cm和4cm．
當矩形的乙個角的平分線分一邊為4cm和3cm時，矩形的周長為2×（3+4）+2×4=22cm；
當矩形的角平分分一邊為3cm和4cm時，矩形的周長為2×（3+4）+2×3=20cm．
解答：解：分兩種情況：
當矩形的乙個角的平分線分一邊為4cm和3cm時，矩形的周長為2×（3+4）+2×4=22cm；
當矩形的角平分分一邊為3cm和4cm時，矩形的周長為2×（3+4）+2×3=20cm．
點評：本題考查的是基本的矩形性質，考生需要注意的是分兩種情況作答即可．
4、要從一張長為40cm，寬為20cm的矩形紙片中，剪出長為18cm，寬為12cm的矩形紙片，最多能剪出 3 張．
考點：矩形的性質。
專題：操作型。
分析：想要剪出最多，需要合理的選擇剪紙的位置，畫出圖形然後求解．
解答：解：
如圖所示矩形，長為40cm，寬為20cm，則知面積為800cm2
剪出的矩形長為18cm，寬為12cm，則知面積為216cm2
所以理論上最多只能剪出3個
如圖可以剪出3個，
所以答案為3．
點評：做這類題畫圖時必要的部分，可以培養思維開闊的能力．
5、矩形的一條較短邊的長為5cm，兩條對角線的夾角為60°，則它的對角線的長等於 10 cm．
考點：矩形的性質。
專題：計算題。
分析：易得兩條對角線的一半與矩形的短邊構成等邊三角形，那麼對角線的一半等於較短邊的長，乘以2即為對角線的長．
解答：解：∵四邊形abcd是矩形，
∴oa=ob，
∵∠aob=60°，
∴△aob是等邊三角形，
∴oa=ab=5cm，
∴ac=2oa=10cm，
故答案為10．
點評：主要考查矩形的性質；用到的知識點為：矩形的對角線互相平分且相等．
6、（1999河南）已知：如圖，在矩形abcd中，ce⊥bd，e為垂足，∠dce：∠ecb=3：1，則∠ace= 45 度．
考點：矩形的性質；三角形內角和定理。
專題：計算題。
分析：根據矩形的性質首先求出∠dce，∠ecb的度數．然後利用三角形內角和定理求解即可．
解答：解：已知∠dce：∠ecb=3：1∠dce=67.5，∠ecb=22.5
∴∠ebc=∠acb=90°﹣∠ecb=67.5°
∴∠ace=∠acb﹣∠ecb=67.5°﹣22.5°=45°
點評：本題考查的是矩形的性質以及三角形內角和定理的有關知識，難度一般．
7、已知菱形的銳角是60°，邊長是20cm，則較長的對角線是 20cm．
考點：菱形的性質。
專題：計算題。
分析：如圖：
由四邊形abcd是菱形，可得ab=ad=20cm，ac⊥bd，∠dab=60°，oa=oc，ob=od，易得bd=20cm，
ac=20cm．
解答：解：
∵四邊形abcd是菱形，
∴ab=ad=20cm，ac⊥bd，∠dab=60°，oa=oc，ob=od，
∴bd=ad=20cm，
∴od=10cm，∠aod=90°，
∴oa=10cm，
∴ac=20cm．
即較長的對角線是20cm．故答案為20．
點評：此題考查了菱形的性質：菱形的對角線互相平分且互相垂直．解題的關鍵是注意勾股定理的應用．
8、菱形兩條對角線的長分別為6和8，它的高為．
考點：菱形的性質。
專題：計算題。
分析：根據對角線的長度即可計算菱形的面積，根據菱形對角線互相垂直平分的性質，可以求得△aob為直角三角形，根據ao，bo可以求得ab的值，根據菱形的面積和邊長即可解題．
解答：解：由題意知ac=6，bd=8，則菱形的面積s=×6×8=24，
∵菱形對角線互相垂直平分，
∴△aob為直角三角形，ao=3，bo=4，
∴ab==5，
∴菱形的高h==．
故答案為：．
點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，菱形面積的計算，本題中求根據ao，bo的值求ab是解題的關鍵．
9、菱形的乙個內角為120°，平分這個內角的對角線長為8cm，則菱形周長為 32 cm．
考點：菱形的性質。
專題：計算題。
分析：根據已知可得該對角線與菱形的一組鄰邊構成乙個等邊三角形，從而可求得菱形的邊長，根據周長求出周長即可．
解答：解：菱形的乙個內角為120°，則鄰角為60°
則這條對角線和一組鄰邊組成等邊三角形，
可得邊長為8cm，
則菱形周長為32cm．
故答案為32．
點評：此題主要考查菱形的性質和等邊三角形的判定的運用．
10、菱形的一邊與兩條對角線所構成的兩個角的差是32°，則菱形較小的內角是 58° ．
考點：菱形的性質。
專題：計算題。
分析：根據菱形的一邊與兩條對角線所構成的兩個角的差是32°即可求得菱形的內角的一半，根據菱形對角線垂直平分且為角平分線的性質，可以計算菱形較小的內角．
解答：解：根據菱形的一邊與兩條對角線所構成的兩個角的差是32°，
菱形對角線垂直平分且為角平分線
設菱形內角度數為為2x、2y，
則x﹣y=32°，x+y=90°，
∴x=61°，y=29°，
所以菱形的相鄰內角為122°和58°，
故答案為 58°．
點評：本題考查了菱形對角線互相垂直平分且平分一組對角的性質，考查了菱形相鄰內角的和為180°的性質，本題中求菱形相鄰內角的值是解題的關鍵．
11、如圖，e是正方形abcd內一點，如果△abe為等邊三角形，那麼∠dce= 15 度．
考點：正方形的性質；等邊三角形的性質。
專題：計算題。
分析：根據已知分別求得∠ebc，∠bec的度數，從而即可求得∠dce的度數．
解答：解：∵△abe為等邊三角形
∴∠abe=60°
∴∠ebc=30°
∵be=bc
∴∠bce=∠bec=75°
∴∠dce=15°
故答案為15．
點評：此題主要考查了等邊三角形和等腰三角形的性質，及正方形的性質．
12、如圖，e是正方形abcd的邊bc延長線上一點，且ce=ac，ae交cd於點f，則∠e= 22.5 度．
考點：正方形的性質；等腰三角形的性質。
專題：計算題。
分析：由於正方形的對角線平分一組對角，那麼∠acb=45°，即∠ace=135°，在等腰△cae中，已知了頂角的度數，即可由三角形內角和定理求得∠e的度數．
解答：解：正方形對角線平分直角，故∠acd=45°，
已知dc⊥ce，則∠ace=135°，
又∵ce=ac，
∴∠e=22.5°．
故答案為22.5．
點評：此題主要考查等腰三角形兩底角相等的應用，以及正方形中邊角性質的應用．
13、如圖，若p是邊長1的正方形abcd內一點且s△abp=0.4，則s△dcp= 0.1 ．
考點：正方形的性質。
專題：計算題。
分析：過p作ef，使ef∥bc，則ef⊥cd，ef⊥ab，∴s△abp=abep，s△cdp=cdpf，根據s△abp+s△cdp=即可求得s△cdp．即可解題．
解答：解：過p作ef，使ef∥bc，則ef⊥cd，ef⊥ab，
∴s△abp=abep，s△cdp=cdpf，
s△abp+s△cdp=ab（ep+pf）=．
故得s△cdp=0.1．
故答案為 0.1．
點評：本題考查了正方形各邊長相等的性質，考查了三角形面積的計算，本題中求得s△abp+s△cdp=ab（ep+pf）=是解題的關鍵．
14、（2007咸寧）如圖，在菱形abcd中，∠bad=80°，ab的垂直平分線交對角線ac於點f，e為垂足，連線df，則∠cdf的度數= 60 度．
考點：線段垂直平分線的性質；菱形的性質。
專題：計算題。
分析：根據菱形的性質求出∠adc=100°，再根據垂直平分線的性質得出af=df，從而計算出∠cdf的值．
解答：解：連線bd，bf
∵∠bad=80°
∴∠adc=100°
又∵ef垂直平分ab，ac垂直平分bd
∴af=bf，bf=df
∴af=df
∴∠fad=∠fda=40°
∴∠cdf=100°﹣40°=60°．
故答案為，60
點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質和菱形的性質．
15、如圖所示，矩形abcd的對角線相交於o，ae平分∠bad，交bc於e，∠cae=15°，那麼∠aob= 60° ．
考點：矩形的性質。
專題：計算題。
分析：根據∠cae=15°和ae平分∠bad，即可求得∠bao=60°，再根據oa=ob即可判定△abo為等邊三角形，即可求∠aob，即可解題．
矩形,菱形的性質及判定培優專項練習
1.在下列命題中，真命題是 兩條對角線相等的四邊形是矩形 兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 2.已知菱形的兩條對角線長為10cm和24cm,那麼這個菱形的周長為面積為 3.將兩張長10cm寬3cm的長方形紙條疊放在一起...
2019新人教版矩形菱形練習題
1 如圖，四邊形中，平分，交於 1 求證 四邊形是菱形 2 若點是的中點，試判斷的形狀，並說明理由 2.如圖，在中，點是邊上的一動點，過點作直線,設交的平分線於點，交的外角平分線於點 1 說明 2 當點運動到何處時，四邊形是矩形？並證明你的結論 3 如圖，在 abc中，d是bc邊上的一點，e是ad的...
矩形 菱形的性質定理和判定定理及其證明
32.3矩形 菱形的性質定理和判定定理及其證明 一 知識概述 1 矩形的性質定理 定理1 矩形的四個角都是直角 說明 1 矩形具有平行四邊形的一切性質 2 矩形的這一特性可用來證明兩條線段互相垂直 定理2 矩形的對角線相等 說明 矩形的這一特性可用來證明兩條線段相等 推論 直角三角形斜邊上的中線等於...