32.3矩形、菱形的性質定理和判定定理及其證明
一、知識概述
1、矩形的性質定理
定理1：矩形的四個角都是直角．
說明：(1)矩形具有平行四邊形的一切性質．
(2)矩形的這一特性可用來證明兩條線段互相垂直．
定理2：矩形的對角線相等．
說明：矩形的這一特性可用來證明兩條線段相等．
推論：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半．
說明：與中位線定理及在直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半一樣，這一推論可用來證明線段之間的倍數關係．
2、矩形的判定定理
定理1：對角線相等的平行四邊形是矩形．
定理2：有三個角是直角的四邊形是矩形．
3、菱形的性質定理
定理：菱形的四條邊都相等．
說明：(1)菱形具有平行四邊形的一切性質，並且具有它特殊的性質．
(2)利用該特性可以證明線段相等．
定理2：菱形的對角線互相垂直．並且每條對角線平分一組對角．
說明：根據菱形的特性可知，其對角線將它分成四個全等的直角三角形，再由直角三角形的相關性質，證明線段或角的關係，這樣就將四邊形問題轉化為三角形問題來處理．
4、菱形的判定定理
定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
定理2：四條邊都相等的四邊形是菱形．
說明：菱形的兩個判定定理起點不同，乙個是平行四邊形，乙個是四邊形，判定時的條件不同，乙個是對角線互相垂直，乙個是四條邊都相等．
5、正方形的性質
普通性質：正方形有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．
特有性質：(1)邊：四條邊都相等，鄰邊垂直，對邊平行；(2)角：四個角都是直角；(3)對角線：①相等，②互相垂直平分，③每條對角線平分一組對角．
說明：正方形這些性質根據定義可直接得出．
特殊性質——正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°，正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形．
6、正方形的判定
(1)判定乙個四邊形為正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：①先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等；②先證它是菱形，再證有乙個角為直角．
(2)判定正方形的一般順序；①先證明是平行四邊形；②再證有一組鄰邊相等(有乙個角是直角)；③最後證明有乙個角是直角(有一組鄰邊相等)．
說明：證明乙個四邊形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少條件．
二、重難點知識歸納
1、特殊的平行四邊形知識結構
三、典型例題講解
例1、如圖所示，m，n分別是平行四邊形abcd的對邊ad，bc的中點，且ad=2ab，求證四邊形pmqn為矩形．
錯解：連線mn．
∵四邊形abcd是平行四邊形，∴adbc．
又∵m，n分別為ad，bc的中點，∴ambn．
∴四邊形amnb是平行四邊形．
又∵ab=ad，∴ab=am，∴口amnb是菱形．
∴an⊥bm，∴∠mpn=90°．
同理∠mqn=90°，∴四邊形pmqn為矩形．
分析：錯在由∠mpn=∠mqn=90°，就證得四邊形pmqn是矩形這一步，還需證乙個角是直角或證四邊形pmqn是平行四邊形，證四邊形pmqn是平行四邊形這種方法比較好．
正解：連線mn，∵四邊形abcd是平行四邊形，∴adbc．
又∵dm=ad，bn=bc(線段中點定義)，
∴四邊形bndm為平行四邊形．
∴bmdn，同理anmc．
∴四邊形pmqn是平行四邊形．
∵ambn，∴四邊形abnm是平行四邊形．
又∵ad=2ab，ad=2am，
∴ab=am，∴四邊形abnm是菱形．
∴an⊥bm，即∠mpn=90°，∴四邊形pmqn是矩形．
例2、如圖所示，4個動點p，q，e，f分別從正方形abcd四個頂點同時出發，沿著ab，bc，cd，da以同樣的速度向b，c，d，a各點移動．
(1)試判斷四邊形pqef的形狀，並證明；
(2)pe是否總過某一定點?並說明理由；
(3)四邊形pqef的頂點位於何處時，其面積有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少?
分析：(1)猜想四邊形pqef為正方形，先證它為菱形，再證有一直角即可；(2)此問是動態問題，緊緊抓住運動過程中的不變數，即apce，四邊形apce為平行四邊形，易知pe與ac平分於點o；(3)此問中顯然當點p，q，e，f分別運動至與正方形abcd各頂點重合時面積最大，分析最小值時的情形可根據s正=pe2，而pe最小時是pe⊥ab，此時pe=bc．
解：(1)四邊形pqef為正方形，證明如下：
在正方形abcd中，∵ab=bc=cd=da，ap=bq=ce=df，
∴bp=qc=ed=fa．
又∵∠bad=∠b=∠bcd=∠d=90°，
∴△afp≌△bpq≌△cqe≌△def．
∴fp=pq=qe=ef，∠apf=∠pqb，∴∠fpq=90°．
∴四邊形pqef為正方形．
(2)連線ac交pe於點o．
∵apec，∴四邊形apce為平行四邊形．
又∵o為對角線ac的中點，∴對角線pe總過ac的中點．
(3)當p運動至與b重合時，四邊形pqef面積最大，等於原正方形面積，
當pe⊥ab時，四邊形pqef的面積最小，等於原正方形面積的一半．
小結：探索動態問題，解答的關鍵是抓住它不動的一瞬間和運動中的不變數，即動中求靜，這類題目是中考的熱點考題．
例3、如圖所示，在△abc中，∠acb=90°，ac=2，bc=3，d是bc邊上一點，直線de⊥bc於d，交ab於e，cf//ab，交直線de於f，設cd=x．
(1)當x取何值時，四邊形eacf是菱形?請說明理由；
(2)當x取何值時，四邊形eacd的面積等於2？
分析：本題考查菱形的判定、解直角三角形等知識的綜合運用，有一定的**性．
解：(1)∵∠acb=90°∴ac⊥bc．
又∵de⊥bc，∴ef//ac．
∵ae//cf，∴四邊形eacf是平行四邊形．
當cf=ac時，四邊形acfe是菱形．
此時cf=ac=2，bd=3－x，tan b=，
∴ed=bd·tan b=(3－x)．
∴df=ef－ed=2－(3－x)=x．
在rt△cdf中，cd2＋df2=cf2，
∴x2＋(x)2=22，
∴(負值不合題意，捨去)．
即當時，四邊形acfe是菱形．
(2)由已知條件可知四邊形eacd是直角梯形，
例4、如圖所示，在等腰梯形abcd中，ad//bc，m、n分別是ad，bc的中點，e，f分別是bm，cm的中點．
(1)求證四邊形menf是菱形；
(2)若四邊形menf是正方形，請探索等腰梯形abcd的高和底邊bc的數量關係，並證明你的結論．
分析：由題中條件根據三角形中位線的性質可證明四邊形menf的四邊相等．當四邊形menf是正方形時，則有ne⊥mb，nf⊥mc，所以需連線mn(梯形的高)進行**．
證明：(1)∵四邊形abcd是等腰梯形，
∴ab=cd，∠a=∠d．
∵m為ad中點，∴am=dm，
∴△abm≌△dcm，∴bm=cm．
∵e，f，n分別為mb，mc，bc的中點，
∴en=mc，fn=mb，me=mb，mf=mc，
∴en=fn=mf=me，
∴四邊形enfm是菱形．
解：(2)結論：等腰梯形abcd的高等於底邊bc的一半．理由如下：
連線mn，∵bm=cm．bn=cn，∴mn⊥bc．
∵ad//bc，∴mn⊥ad，即mn為梯形abcd的高，
又∵四邊形menf是正方形，∴△bmc為等腰直角三角形，
∵n為bc中點，∴mn=bc．
小結：梯形的高是指端點在兩底上並且與兩底垂直的線段．
例5、如圖所示，在梯形abcd中，ad//bc，ab=cd，m，n分別是ad，bc的中點，ac平分∠dcb，ab⊥ac，p為mn上的乙個動點．若ad=3，則pd＋pc的最小值為
分析：本題綜合考查等腰梯形的性質、軸對稱圖形和解直角三角形等知識．由m，n為ad，bc中點可知，直線mn為等腰梯形的對稱軸，故點a與點d，點b與點c關於直線mn對稱．所以連線bd，交mn於點p′，則pc＋pd的最小值為線段bd的長(由三角形三邊的關係說明)．因為ac平分∠dcb，且ad//bc，所以ad=dc=ab=3，易知∠acb=∠dcb=30°．又∠bac=90°，所以bc=2ab=6，因此．
答案：例6、用反證法證明：乙個梯形中不能有三個角是鈍角．
分析：要用反證法證明文字敘述的命題，需寫出已知、求證，根據命題要求畫出圖形，再經過推理論證，得出與所學過的知識相矛盾的結論．從而否定原來的假設．
如圖所示，已知梯形abcd，ad//bc．
求證：∠a，∠b，∠c，∠d中不能有三個角是鈍角．
證明：假設∠a，∠b，∠c，∠d中有三個角是鈍角，不妨設∠a>90°，∠b>90°，∠c>90°．
∴∠a＋∠b>180°，∠b＋∠c>180°，∠a＋∠c>180°．
又∵ad∥bc，∴∠a＋∠b=180°．
∴「∠a＋∠b>180°」與「∠a＋∠b=180°」矛盾．
∴∠a＋∠b>180°不成立，即假設∠a>90°，∠b>90°不成立．
∴梯形中不能有三個角是鈍角．
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