1、菱形的定義：
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
2、菱形的性質：
菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質，還有自身的特殊性質：
（1）菱形四條邊相等。
（2）菱形的兩條對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角。
（3）菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線為對稱軸）。
3、菱形的判定：
（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。（3）四邊相等的四邊形是菱形。
4、菱形面積計算：
（1）平行四邊形面積求法：底×高（2）特殊求法：對角線的乘積
1下列命題不正確的是（ ）
a．對角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形;
b．組對邊分別平行且一組鄰邊相等的四邊形是菱形;
c．兩組對角分別相等且一組鄰邊相等的四邊形是菱形;
d．對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形.
2．菱形具有一般平行四邊形不具有的性質是（ ）
a．兩組對邊分別平行 b．對角線互相平分 c．兩組對邊分別相等 d．一組鄰邊相等
3．乙個菱形的兩條對角線分別是6cm，8cm，則這個菱形的面積等於
a．48cm2 b．24cm2 c．12cm2 d．18cm2
4．已知四邊形abcd是平行四邊形，下列結論中，不一定正確的是（ ）
a．ab=cd b．當ac⊥bd時，它是菱形 c．ac=bd d．當∠abc=90°時，它是矩形
例1、如圖，在菱形abcd中，點e、f分別在cd、bc上，且ce=cf，求證：ae=af。
【變式練習】
如圖，ac是菱形abcd的對角線，點e、f分別在邊ab、ad上，且ae=af。
求證： △ace≌△acf
例2、如圖，菱形abcd中， =60°，ab=2cm，e、f分別是bc、cd的中點，鏈結ae、ef、af，則△aef的周長為多少？
【變式練習】
如圖，在菱形abcd中，ac與bd相交於點o，ac=6，bd=8，求菱形abcd的周長和面積。
例3、如圖，△abc中，e、f、d分別是ab、ac、bc上的點，且de∥ac，df∥ab，要使四邊形aedf是菱形，在不改變圖形的前提下，你需要新增的乙個條件是試證明：這個多邊形是菱形。
【變式練習】已知ad是△abc的角平分線，de∥ac交ab於點e，de∥ab交ac於點f，求證：ad⊥ef。
例4、如圖，平行四邊形abcd的對角線ac的垂直平分線ef與ad、bc、ac分別交於點e、f、o，連線af、ec，則四邊形afce是菱形嗎？為什麼？
【變式練習】如圖，△abc中， ∠acb=90°，be平分∠abc，cd⊥ab與d，eh⊥ab於h，cd交be於f．求證：四邊形cehf為菱形．
例5.所示，□abcd的對角線ac的垂直平分線與邊ad，bc分別交於e，f.求證：四邊形afce是菱形．
例6、如圖，矩形abcd中，點p是線段ad上一動點，o為bd的中點，po的延長線交bc於q。
（1）求證：op=oq
（2）若ad=8厘公尺，ab=6厘公尺，p從點a出發，以1厘公尺/秒的速度向d運用（不與d重合）。設點p運動時間為t秒，請用t表示pd的長；並求t為何值時，四邊形pbqd是菱形。
錯用判定條件
例：如圖，已知在平行四邊形abcd中，的平分線與bc交於點e，的平分線與ad交於點f，ae與bf交於點o。
試證明：四邊形abef是菱形。
菱形的性質：
1、 菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可以將菱形分成完全全等的兩部分。
2、 菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心。
3、 菱形的面積計算兩種方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形的面積之和）。
實際上，任何乙個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半。
4、 菱形的性質可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關計算問題。
菱形的判定：
1、 判定乙個四邊形是菱形時，首先判定它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或者對角線互相垂直，也可以證明它的四條邊相等或者對角線互相垂直平分。
2、 前兩種方法都是在平行四邊形的基礎上外加乙個條件來判定菱形，後一種方法是在四邊形的基礎上加上四邊相等。
一、選擇題
1、如圖，菱形abcd中，ab=5， =120°，則對角線ac的長是（ ）
a、20 b、15 c、10 d、5
1題圖2題圖3題圖
2、如圖所示，是乙個邊長為15cm的活動菱形衣帽架，若牆上釘子間的距離ab=bc=15cm，那麼的度數為（ ）
a、45° b、60° c、75° d、90°
3、如圖所示，在菱形abcd中， =80°，ab的垂直平分線交對角線ac於點f，點e為垂足，連線df，則的度數為（ ）
a、80° b、70° c、65° d、60°
4、下列命題不正確的是（ ）
a．對角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形;
b．組對邊分別平行且一組鄰邊相等的四邊形是菱形;
c．兩組對角分別相等且一組鄰邊相等的四邊形是菱形;
d．對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形.
二、填空題
5、如圖所示，四邊形abcd是邊長為13cm的菱形，其中對角線bd長10cm，則（1）對角線ac長度是 cm；（2）菱形abcd的面積是 。
6、如圖，菱形abcd的對角線ac、bd相交於點o，且ac=8，bd=6，過點o作oh⊥ab，垂足為h，則點o到ab的距離oh
6題圖7題圖
7、如圖，在△abc中， =90°，bc的垂直平分線de交bc於d，交ab於e，f在de的延長線上，且af=ce，則四邊形acef為當= 時，四邊形acef為菱形。
三、解答題
8、如圖，在菱形abcd中， =60°，ab=4，o為對角線bd的中點，過點o作oe⊥ab，垂足為e。
（1）求的度數；
（2）求線段be的長。
9、如圖，△abc中，ab=ac，ad、cd分別是△abc兩個外角的平分線。
（1）求證：ac=ad；
（2）若=60°，求證：四邊形abcd是菱形。
10、已知：如圖所示，在平行四邊形abcd中，e、f分別為邊ab、cd的中點，bd是對角線，ag∥db交cb的延長線於g。
（1）求證：△ade≌△cbf
（2）若四邊形bedf是菱形，則四邊形agbd是什麼特殊四邊形？並證明你的結論。
菱形的性質
選擇題：
1.（2011江蘇無錫）菱形具有而矩形不一定具有的性質是（ ）
a．對角線互相垂直 b．對角線相等
c．對角線互相平分 d．對角互補
2.（2011江蘇淮安）在菱形abcd中，ab=5cm，則此菱形的周長為（ ）
a. 5cm b. 15cm c. 20cm d. 25cm
3.（2011雲南保山）如圖，在菱形abcd中，∠bad=60°，bd=4，則菱形abcd的周長是
4.（2011青海）已知菱形abcd的對角線ac、bd的長度是6和8，則這個菱形的周長是（ ）
a、20 b、14c、28 d、24
5 （2011，台灣省）如圖為菱形abcd與△abe的重迭情形，其中d在be上．若ab=17，bd=16，ae=25，則de的長度為何？（ ）
a、8 b、9 c、11 d、12
第5題圖第6題
6.（2011濟南）如圖，菱形abcd的周長是16，∠a=60°，則對角線bd的長度為（ ）
a．2bc．4d．
7.（2010廣東佛山）依次連線菱形的各邊中點，得到的四邊形是
a．矩形 b．菱形 c．正方形 d．梯形
8.（2011廣東省茂名）如圖，兩條筆直的公路l1、l2相交於點o，村莊c的村民在公路的旁邊建三個加工廠 a、b、d，已知ab=bc=cd=da=5公里，村莊c到公路l1的距離為4公里，則村莊c到公路l2的距離是（ ）
a、3公里 b、4公里c、5公里 d、6公里
9（2011湖南衡陽）如圖所示，在平面直角座標系中，菱形mnpo的頂點p的座標是（3，4），則頂點m、n的座標分別是（ ）
a、m（5，0），n（8，4） b、m（4，0），n（8，4）
c、m（5，0），n（7，4） d、m（4，0），n（7，4）
填空題：
1.（2011重慶綦江）如圖，菱形abcd的對角線ac、bd相交於點o，且ac＝8，bd＝6，過點o作oh丄ab，垂足為h，則點o到邊ab的距離
2.（2011河北）如圖，已知菱形abcd，其頂點a，b在數軸上對應的數分別為－4和1，則bc＝ ．
3（2011福建龍巖）如圖，菱形abcd周長為8cm．∠bad=60°，則ac= cm．
4.（2011甘肅蘭州）如圖，依次鏈結第乙個矩形各邊的中點得到乙個菱形，再依次鏈結菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續下去.已知第乙個矩形的面積為1，則第n個矩形的面積為
解答題：
1.（2011南昌）如圖，四邊形abcd為菱形，已知a（0，4），b（﹣3，0）．
（1）求點d的座標；
（2）求經過點c的反比例函式解析式．
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