橢圓的幾何性質中，對於離心率和離心率的取值範圍的處理，同學們很茫然，沒有方向性。題型變化很多，難以駕馭。以下，總結一些處理問題的常規思路，以幫助同學們理解和解決問題。
一、 運用幾何圖形中線段的幾何意義。
基礎題目：如圖，o為橢圓的中心，f為焦點，a為頂點，準線l交oa於b，p、q在橢圓上，pd⊥l於d，qf⊥ad於f,設橢圓的離心率為e，則①e=②e=③e=④e=
⑤e=評：aqp為橢圓上的點，根據橢圓的第二定義得，①②④。
∵｜ao｜=a,｜of｜=c,∴有⑤；∵｜ao｜=a,｜bo｜=∴有③。
題目1：橢圓+=1(a>b >0)的兩焦點為f1 、f2 ，以f1f2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？
思路：a點在橢圓外，找a、b、c的關係應借助橢圓，所以取af2 的中點b，連線bf1 ,把已知條件放在橢圓內，構造△f1bf2分析三角形的各邊長及關係。
解：∵｜f1f2｜=2c ｜bf1｜=c ｜bf2｜=c
c+c=2a ∴e= = -1
變形1：橢圓+=1(a>b >0)的兩焦點為f1 、f2 ，點p在橢圓上，使△opf1 為正三角形，求橢圓離心率？
解：連線pf2 ,則｜of2｜=｜of1｜=｜op｜,∠f1pf2 =90°圖形如上圖，e=-1
變形2: 橢圓+=1(a>b >0)的兩焦點為f1 、f2 ，ab為橢圓的頂點，p是橢圓上一點，且pf1 ⊥x軸，pf2 ∥ab,求橢圓離心率？
解：∵｜pf1｜= ｜f2 f1｜=2c ｜ob｜=b ｜oa｜=a
pf2 ∥ab ∴= 又 ∵b=
∴a2=5c2 e=
點評：以上題目，構造焦點三角形，通過各邊的幾何意義及關係，推導有關a與c的方程式，推導離心率。
二、運用正餘弦定理解決圖形中的三角形
題目2：橢圓+=1(a>b >0)，a是左頂點，f是右焦點，b是短軸的乙個頂點，∠abf=90°，求e?
解：｜ao｜=a ｜of｜=c ｜bf｜=a ｜ab｜=
a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 兩邊同除以a2
e2+e-1=0 e= e= (捨去)
變形：橢圓+=1(a>b >0)，e=, a是左頂點，f是右焦點，b是短軸的乙個頂點，求∠abf？
點評：此題是上一題的條件與結論的互換，解題中分析各邊，由餘弦定理解決角的問題。答案：90°
引申：此類e=的橢圓為優美橢圓。
性質：1、∠abf=90°2、假設下端點為b1 ,則abfb1 四點共圓。3、焦點與相應準線之間的距離等於長半軸長。
總結：焦點三角形以外的三角形的處理方法根據幾何意義，找各邊的表示，結合解斜三角形公式，列出有關e的方程式。
題目3：橢圓+=1(a>b >0)，過左焦點f1 且傾斜角為60°的直線交橢圓與ab兩點，若｜f1a｜=2｜bf1｜,求e?
解：設｜bf1｜=m 則｜af2｜=2a-am ｜bf2｜=2a-m
在△af1f2 及△bf1f2 中，由餘弦定理得：兩式相除=e=
題目4：橢圓+=1(a>b >0)的兩焦點為f1 （-c，0）、f2 (c,0)，p是以｜f1f2｜為直徑的圓與橢圓的乙個交點，且
∠pf1f2 =5∠pf2f1 ,求e?
分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應用。
解：由正弦定理： = =
根據和比性質：
= 變形得： ==
==e∠pf1f2 =75°∠pf2f1 =15°
e= =
點評：在焦點三角形中，使用第一定義和正弦定理可知
e=變形1：橢圓+=1(a>b >0)的兩焦點為f1 （-c，0）、f2 (c,0)，p是橢圓上一點，且∠f1pf2 =60°，求e的取值範圍？
分析：上題公式直接應用。
解：設∠f1f2p=α，則∠f2f1p=120°-α
e===
≥ ∴≤e<1
變形2：已知橢圓+ =1 (t>0) f1f2 為橢圓兩焦點，m為橢圓上任意一點（m不與長軸兩端點重合）設∠pf1f2 =α,∠pf2f1 =β若分析：運用三角函式的公式，把正弦化正切。
解;根據上題結論e== ==
==e∵<< ∴三、 以直線與橢圓的位置關係為背景，用設而不求的方法找e所符合的關係式.
題目5：橢圓+=1(a>b >0)，斜率為1，且過橢圓右焦點f的直線交橢圓於a、b兩點， +與=(3,-1)共線，求e?
法一：設a(x1,y1) ,b(x2,y2)
(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0
x1+x2= y1+y2=-2c=
+=(x1+x2,y1+y2)與（3，-1）共線，則
-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e=
法二：設ab的中點n，則2=+
① -② 得：
=- ∴1=- (-3) 既a2=3b2 e=
四、 由圖形中暗含的不等關係，求離心率的取值範圍。
題目6：橢圓+=1(a>b >0)的兩焦點為f1 （-c，0）、f2 (c,0)，滿足1·2 =0的點m總在橢圓內部，則e的取值範圍？
分析：∵ 1·2 =0∴以f1f2 為直徑作圓，m在圓o上，與橢圓沒有交點。
解：∴c a2=b2+c2 >2c2 ∴0題目7：橢圓+=1(a>b >0)的兩焦點為f1 （-c，0）、f2 (c,0)，p為右準線l上一點，f1p的垂直平分線恰過f2 點，求e的取值範圍？
分析：思路1,如圖f1p與 f2m 垂直，根據向量垂直，找a、b、c的不等關係。
思路2：根據圖形中的邊長之間的不等關係，求e
解法一：f1 （-c，0） f2 (c,0) p(,y0 ) m(,)
既(,) 則1 =-( +c, y0 )
2 =-( -c,) 1·2 =0
(+c, y0 ) ·(-c,)=0
(+c)·(-c)+ =0
a2-3c2≤0 ∴≤e<1
解法2：｜f1f2｜=｜pf2｜=2c
｜pf2｜≥-c 則2c≥-c 3c≥
3c2≥a2 則≤e<1
總結：對比兩種方法，不難看出法一具有代表性，可謂通法，而法二是運用了垂直平分線的幾何性質，巧妙的運用三角形邊的大小求解的妙法。所以垂直平分線這個條件經常在解析幾何**現，對於它的應用方法，值得大家注意。
離心率為高考的乙個重點題目，多以選擇題或解答題的第一問形式出現，望大家經過此系列題目能對它有一些認識和掌握。
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