一、 運用幾何圖形中線段的幾何意義。
題目1：橢圓+=1(a>b >0)的兩焦點為f1 、f2 ，以f1f2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？
思路：a點在橢圓外，找a、b、c的關係應借助橢圓，所以取af2 的中點b，連線bf1 ,把已知條件放在橢圓內，構造△f1bf2分析三角形的各邊長及關係。
解：∵｜f1f2｜=2c ｜bf1｜=c ｜bf2｜=c
c+c=2a ∴e= = -1
變形1：橢圓+=1(a>b >0)的兩焦點為f1 、f2 ，點p在橢圓上，使△opf1 為正三角形，求橢圓離心率？
解：連線pf2 ,則｜of2｜=｜of1｜=｜op｜,∠f1pf2 =90°圖形如上圖，e=-1
變形2: 橢圓+=1(a>b >0)的兩焦點為f1 、f2 ，ab為橢圓的頂點，p是橢圓上一點，且pf1 ⊥x軸，pf2 ∥ab,求橢圓離心率？
解：∵｜pf1｜= ｜f2 f1｜=2c ｜ob｜=b ｜oa｜=a
pf2 ∥ab ∴= 又 ∵b=
∴a2=5c2 e=
點評：以上題目，構造焦點三角形，通過各邊的幾何意義及關係，推導有關a與c的方程式，推導離心率。
二、運用正餘弦定理解決圖形中的三角形
題目2：橢圓+=1(a>b >0)，a是左頂點，f是右焦點，b是短軸的乙個頂點，∠abf=90°，求e?
解：｜ao｜=a ｜of｜=c ｜bf｜=a ｜ab｜=
a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 兩邊同除以a2
e2+e-1=0 e= e= (捨去)
變形：橢圓+=1(a>b >0)，e=, a是左頂點，f是右焦點，b是短軸的乙個頂點，求∠abf？
點評：此題是上一題的條件與結論的互換，解題中分析各邊，由餘弦定理解決角的問題。答案：90°
引申：此類e=的橢圓為優美橢圓。
性質：1、∠abf=90°2、假設下端點為b1 ,則abfb1 四點共圓。3、焦點與相應準線之間的距離等於長半軸長。
總結：焦點三角形以外的三角形的處理方法根據幾何意義，找各邊的表示，結合解斜三角形公式，列出有關e的方程式。
題目3：橢圓+=1(a>b >0)，過左焦點f1 且傾斜角為60°的直線交橢圓與ab兩點，若｜f1a｜=2｜bf1｜,求e?
解：設｜bf1｜=m 則｜af2｜=2a-am ｜bf2｜=2a-m
在△af1f2 及△bf1f2 中，由餘弦定理得：兩式相除=e=
三、 以直線與橢圓的位置關係為背景，用設而不求的方法找e所符合的關係式.
題目5：橢圓+=1(a>b >0)，斜率為1，且過橢圓右焦點f的直線交橢圓於a、b兩點， +與=(3,-1)共線，求e?
法一：設a(x1,y1) ,b(x2,y2)
(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0
x1+x2= y1+y2=-2c=
+=(x1+x2,y1+y2)與（3，-1）共線，則
-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e=
法二：設ab的中點n，則2=+
① -② 得：
=- ∴1=- (-3) 既a2=3b2 e=
四、 由圖形中暗含的不等關係，求離心率的取值範圍。
題目6：橢圓+=1(a>b >0)的兩焦點為f1 （-c，0）、f2 (c,0)，滿足1·2 =0的點m總在橢圓內部，則e的取值範圍？
分析：∵1·2 =0∴以f1f2 為直徑作圓，m在圓o上，與橢圓沒有交點。
解：∴c a2=b2+c2 >2c2 ∴0 橢圓的幾何性質中，對於離心率和離心率的取值範圍的處理，同學們很茫然，沒有方向性。題型變化很多，難以駕馭。以下，總結一些處理問題的常規思路，以幫助同學們理解和解決問題。一 運用幾何圖形中線段的幾何意義。基礎題目 如圖，o為橢圓的中心，f為焦點，a為頂點，準線l交oa於b，p q在橢圓上，pd l於d，... 橢圓3例7.橢圓 1 a b 0 的兩個焦點及其與座標軸的乙個交點正好是乙個等邊三角形的三個頂點，且橢圓上的點到焦點距離的最小值為，求橢圓的方程.1 例8 根據條件，求出橢圓的方程 中心在原點，對稱軸為座標軸，焦點在軸上，短軸的乙個頂點與兩個焦點組成的三角形的周長為，且.2 設長軸為，焦距為，則在中... 1.已知橢圓c 1 a b 0 的左焦點為f，橢圓c與過原點的直線相交於a，b兩點，連線af，bf.若 ab 10，af 6，cos abf 則c的離心率e 2.已知橢圓 1 a b 0 的兩焦點為f1 f2，以f1f2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為 3.過點m ...橢圓離心率的解法總結
橢圓的離心率求法
離心率問題