2023年高考數學圓錐曲線知識歸納（1）
一．試題趨勢
近年來圓錐曲線在高考中比較穩定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現，主要考察學生邏輯推理能力、運算能力，考察學生綜合運用數學知識解決問題的能力。但圓錐曲線在新課標中化歸到選學內容，要求有所降低，估計2023年高考對本講的考察， 主要考察熱點有：
（1）圓錐曲線的定義及標準方程；
（2）與圓錐曲線有關的軌跡問題；
（3）與圓錐曲線有關的最值、定值問題；
（4）與平面向量、導數等知識相結合的交匯試題
（1）圓錐曲線的定義及標準方程；
1.（2010北京文理）（13）已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那麼雙曲線的焦點座標為漸近線方程為
答案：()
2.（2010天津文數）（13）已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的乙個焦點與拋物線的焦點相同。則雙曲線的方程為
【答案】
3.（2010福建文數）13． 若雙曲線-=1(b>0)的漸近線方程式為y=，則ｂ等於 。
【答案】1
4.（2010江蘇卷）6、在平面直角座標系xoy中，雙曲線上一點m，點m的橫座標是3，則m到雙曲線右焦點的距離是
[解析]考查雙曲線的定義。，為點m到右準線的距離，=2，mf=4。
5.（2010浙江理數）（13）設拋物線的焦點為，點
.若線段的中點在拋物線上，則到該拋物線準線的距離為
6.（2010安徽文數）(12)拋物線的焦點座標是
答案：7. (2023年全國高考寧夏卷12）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過f的直線與相交於a，b兩點，且ab的中點為,則的方程式為
(a) (bcd)
（2）與圓錐曲線有關的軌跡問題；
2.（2010遼寧理數）(20)（本小題滿分12分）
設橢圓c：的左焦點為f，過點f的直線與橢圓c相交於a，b兩點，直線l的傾斜角為60o,.
(i) 求橢圓c的離心率；
(ii) 如果|ab|=，求橢圓c的方程.
解：設，由題意知＜0，＞0.
（ⅰ）直線l的方程為 ，其中.
聯立得解得
因為，所以.
即 得離心率6分
（ⅱ）因為，所以.
由得.所以，得a=3，.
橢圓c的方程為12分
3.(2009山東卷 )（本小題滿分14分）
設,在平面直角座標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為e.
（1）求軌跡e的方程,並說明該方程所表示曲線的形狀;
（2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡e恒有兩個交點a,b,且(o為座標原點),並求出該圓的方程;
(3)已知,設直線與圓c:(1解（1）因為,,, 所以, 即. 當m=0時,方程表示兩直線,方程為; 當時, 方程表示的是圓
當且時,方程表示的是橢圓; 當時,方程表示的是雙曲線.
(2).當時, 軌跡e的方程為,設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,
要使切線與軌跡e恒有兩個交點a,b, 則使△=,
即,即, 且
,要使, 需使,即,
所以, 即，且, 即恆成立.
所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,, 所求的圓為.
當切線的斜率不存在時,切線為,與交於點或也滿足.
綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且.
(3)當時,軌跡e的方程為,設直線的方程為,因為直線與圓c:(1因為與軌跡e只有乙個公共點b1, 由（2）知得,
即有唯一解
則△=, 即, ②
由①②得, 此時a,b重合為b1(x1,y1)點,
由中所以,,
b1(x1,y1)點在橢圓上, 所以,所以,
在直角三角形oa1b1中,因為當且僅當時取等號,所以, 即
當時|a1b1|取得最大值,最大值為1.
【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關係,以及直線與橢圓的位置關係,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題.
4.（2009遼寧卷 ）（本小題滿分12分）
已知，橢圓c以過點a（1，），兩個焦點為（－1，0）（1，0）。
（1） 求橢圓c的方程；
（2） e,f是橢圓c上的兩個動點，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數，證明直線ef的斜率為定值，並求出這個定值
解：（ⅰ）由題意，c＝1,可設橢圓方程為
因為a在橢圓上，所以，解得＝3，＝（捨去）。
所以橢圓方程為4分
（ⅱ）設直線ａｅ方程：得，代入得
設因為點ａ（1，）在橢圓上，所以
8分又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數，在上式中以代，可得
。所以直線ef的斜率。
即直線ef的斜率為定值，其值為12分
5.（2009遼寧卷理）（本小題滿分12分）
已知，橢圓c過點a，兩個焦點為（－1，0），（1，0）。
（3） 求橢圓c的方程；
（4） e,f是橢圓c上的兩個動點，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數，證明直線ef的斜率為定值，並求出這個定值。
（ⅰ）由題意，c=1,可設橢圓方程為，解得，（捨去）
所以橢圓方程為4分
（ⅱ）設直線ae方程為：，代入得
設,,因為點在橢圓上，所以
8分又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數，在上式中以—k代k，可得
所以直線ef的斜率
即直線ef的斜率為定值，其值為12分
（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分）
已知橢圓c的中心為直角座標系xoy的原點，焦點在s軸上，它的乙個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
（ⅰ）求橢圓c的方程；
（ⅱ）若p為橢圓c上的動點，m為過p且垂直於x軸的直線上的點，=λ，求點m的軌跡方程，並說明軌跡是什麼曲線。
解:(ⅰ)設橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得
，所以橢圓的標準方程為
（ⅱ）設，其中。由已知及點在橢圓上可得
。整理得，其中。
（i）時。化簡得
所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行於軸的線段。
（ii）時，方程變形為，其中
當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分。
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓；
1．（2023年高考福建卷理科7）若點o和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點p為雙曲線右支上的任意一點,則的取值範圍為 ( )
a. b. c. d.
【答案】b
2.（1）（2009遼寧卷理）以知f是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為
【解析】注意到a點在雙曲線的兩隻之間,且雙曲線右焦點為f '(4,0), 於是由雙曲線定義，得
|pf|－|pf』|＝2a＝4, 而|pa|＋|pf』|≥|af』|＝5
兩式相加得|pf|＋|pa|≥9,當且僅當a、p、f』三點共線時等號成立.
【答案】9 。
4.（2010北京科）已知橢圓c的左、右焦點座標分別是，，離心率是，直線y=t橢圓c交與不同的兩點m，n，以線段為直徑作圓p,圓心為p。
（ⅰ）求橢圓c的方程；
（ⅱ）若圓p與x軸相切，求圓心p的座標；
（ⅲ）設q（x，y）是圓p上的動點，當t變化時，求y的最大值。
解：（ⅰ）因為，且，所以
所以橢圓c的方程為
（ⅱ）由題意知
由得所以圓p的半徑為
解得所以點p的座標是（0，）
（ⅲ）由（ⅱ）知，圓p的方程。因為點在圓p上。所以
設，則當，即，且，取最大值2.
5.（2009浙江理）（本題滿分15分）
已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為．
（i）求橢圓的方程；
（ii）設點在拋物線：上，在點處的切線與交於點．當線段的中點與的中點的橫座標相等時，求的最小值．
解（i）由題意得所求的橢圓方程為，
（ii）不妨設則拋物線在點p處的切線斜率為，直線mn的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因為直線mn與橢圓有兩個不同的交點，所以有，
設線段mn的中點的橫座標是，則，
設線段pa的中點的橫座標是，則，由題意得，即有，其中的或；
當時有，因此不等式不成立；因此，當時代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．
6..（2009浙江文）（本題滿分15分）
已知拋物線：上一點到其焦點的距離為．
（i）求與的值；
（ii）設拋物線上一點的橫座標為，過的直線交於另一點，交軸於點，過點作的垂線交於另一點．若是的切線，求的最小值．
解（ⅰ）由拋物線方程得其準線方程：，根據拋物線定義
點到焦點的距離等於它到準線的距離，即，解得
拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得
（ⅱ）由題意知，過點的直線斜率存在且不為0，設其為。
則，當則。
聯立方程，整理得：
即：，解得或
，而，直線斜率為
，聯立方程
整理得：，即：
，解得：，或
，而拋物線在點n處切線斜率：
mn是拋物線的切線，，
整理得，解得（捨去），或，
（6）與平面向量、導數等知識相結合的交匯試題
1. (2023年全國高考寧夏卷20）（本小題滿分12分）
設分別是橢圓的左、右焦點，過斜率為1的直線與相交於兩點，且成等差數列。
圓錐曲線知識歸納總結
1 2015高考福建，文11 已知橢圓的右焦點為 短軸的乙個端點為，直線交橢圓於兩點 若，點到直線的距離不小於，則橢圓的離心率的取值範圍是 a b c d 2 2015高考安徽，理12 在極座標中，圓上的點到直線距離的最大值是 3 2015高考廣東，理14 座標系與引數方程選做題 已知直線的極座標方...
圓錐曲線軌跡方程經典例題
一 軌跡為圓的例題 1 必修2課本p124b組2 長為2a的線段的兩個端點在軸和軸上移動，求線段ab的中點m的軌跡方程 2 必修2課本p124b組 已知m與兩個定點 0,0 a 3,0 的距離之比為，求點m的軌跡方程 一般地 必修2課本p144b組2 已知點m 與兩個定點的距離之比為乙個常數 討論點...
圓錐曲線解題方法技巧歸納
例1 已知三角形abc的三個頂點均在橢圓上，且點a是橢圓短軸的乙個端點 點a在y軸正半軸上 1 若三角形abc的重心是橢圓的右焦點，試求直線bc的方程 2 若角a為，ad垂直bc於d，試求點d的軌跡方程.分析 第一問抓住 重心 利用點差法及重心座標公式可求出中點弦bc的斜率，從而寫出直線bc的方程。...