圓錐曲線的綜合應用
一、圓錐曲線的最值問題
方法1：定義轉化法
①根據圓錐曲線的定義列方程；②將最值問題轉化為距離問題求解．
例1、已知點f是雙曲線－＝1的左焦點，定點a的座標為(1,4)，p是雙曲線右支上的動點，則|pf|＋|pa|的最小值為________．
方法2：數形結合（切線法）
當所求的最值是圓錐曲線上的點到某條直線的距離的最值時：①求與直線平行的圓錐曲線的切線；②求出兩平行線的距離即為所求的最值．
例2、求橢圓＋y2＝1上的點到直線y＝x＋2的距離的最大值和最小值，並求取得最值時橢圓上點的座標．
方法3：引數法（函式法）
1 選取合適的引數表示曲線上點的座標；
②求解關於這個引數的函式最值
例3、在平面直角座標系xoy中，點p(x，y)是橢圓＋y2＝1上的乙個動點，則s＝x＋y的最大值為________．
方法4：基本不等式法
①將最值用變數表示．
②利用基本不等式求得表示式的最值．
例4、求橢圓＋y2＝1內接矩形abcd面積的最大值．
二、圓錐曲線的範圍問題
方法1：曲線幾何性質法
①由幾何性質建立關係式；②化簡關係式求解．
例1、已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為f1，f2，點p在雙曲線的右支上，且|pf1|＝4|pf2|，則此雙曲線中的取值範圍是________．
方法2：判別式法
當直線和圓錐曲線相交、相切和相離時，分別對應著直線和圓錐曲線方程聯立消元後得到的一元二次方程的判別式大於零、等於零、小於零
1 聯立曲線方程，消元後求判別式；
②根據判別式大於零、小於零或等於零結合曲線性質求解．
例2、在平面直角座標系xoy中，經過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點p和q.
(1)求k的取值範圍；
(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為a，b，是否存在常數m，使得向量＋與共線？如果存在，求m值；如果不存在，請說明理由．
三、圓錐曲線的定值、定點問題
方法1：特殊到一般法
根據特殊情況能找到定值(或定點)的問題
1 根據特殊情況確定出定值或定點；
②對確定出來的定值或定點進行一般情況的證明．
例1、已知雙曲線c：x2－＝1，過圓o：x2＋y2＝2上任意一點作圓的切線l，若l交雙曲線於a，b兩點，證明：∠aob的大小為定值．
方法2：引進引數法
定值、定點是變化中的不變數，引入引數找出與變數與引數沒有關係的點(或值)即是定點(或定值).
1 引進引數表示變化量；
②研究變化的量與引數何時沒有關係，找到定值或定點
例2、如圖所示，曲線c1：＋＝1，曲線c2：y2＝4x，過曲線c1的右焦點f2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線c1，c2依次交於b，c，d，e四點．若g為cd的中點、h為be的中點，證明為定值．
課堂知識運用訓練
1．設p是曲線y2＝4x上的乙個動點，則點p到點a(－1,1)的距離與點p到x＝－1直線的距離之和的最小值為( )．
a. b. c. d.
2．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝2有四個交點，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓的範圍為( )．
a.＜＜ b．0＜＜ c.＜＜ d.＜＜
3．設f是橢圓＋＝1的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點pi(i＝1,2,3，…)，使|fp1|，|fp2|，|fp3|，…組成公差為d的等差數列，則d的取值範圍為________．
4．過拋物線y2＝2px(p＞0)上一定點p(x0，y0)(y0＞0)作兩直線分別交拋物線於a(x1，y1)，b(x2，y2)，當pa與pb的斜率存在且傾斜角互補時，則的值為________．
5．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦點為f，過f點的直線l交橢圓於a，b兩點，p為線段ab的中點，當△pfo的面積最大時，求直線l的方程．
6．已知⊙o′過定點a(0，p)(p＞0)，圓心o′在拋物線c：x2＝2py(p＞0)上運動，mn為圓o′在軸上所截得的弦．
(1)當o′點運動時，|mn|是否有變化？並證明你的結論；
(2)當|oa|是|om|與|on|的等差中項時，試判斷拋物線c的準線與圓o′的位置關係，並說明理由．
答案解析
圓錐曲線的綜合應用
一、圓錐曲線的最值問題
方法1：定義轉化法
①根據圓錐曲線的定義列方程；②將最值問題轉化為距離問題求解．
例1、已知點f是雙曲線－＝1的左焦點，定點a的座標為(1,4)，p是雙曲線右支上的動點，則|pf|＋|pa|的最小值為________．
解析如圖所示，根據雙曲線定義|pf|－|pf′|＝4，
即|pf|－4＝|pf′|.又|pa|＋|pf′|≥|af′|＝5，
將|pf|－4＝|pf′|代入，得|pa|＋|pf|－4≥5，
即|pa|＋|pf|≥9，等號當且僅當a，p，f′三點共線，
即p為圖中的點p0時成立，故|pf|＋|pa|的最小值為9.故填9.
方法2：數形結合（切線法）
當所求的最值是圓錐曲線上的點到某條直線的距離的最值時：①求與直線平行的圓錐曲線的切線；②求出兩平行線的距離即為所求的最值．
例2、求橢圓＋y2＝1上的點到直線y＝x＋2的距離的最大值和最小值，並求取得最值時橢圓上點的座標．
解設橢圓的切線方程為y＝x＋b，
代入橢圓方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.
由δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±.
當b＝時，直線y＝x＋與y＝x＋2的距離d1＝，將b＝代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝－，此時y＝，
即橢圓上的點到直線y＝x＋2的距離最小，最小值是；
當b＝－時，直線y＝x－到直線y＝x＋2的距離d2＝，將b＝－代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝，此時y＝－，
即橢圓上的點到直線y＝x＋2的距離最大，最大值是.
方法3：引數法（函式法）
2 選取合適的引數表示曲線上點的座標；
②求解關於這個引數的函式最值
例3、在平面直角座標系xoy中，點p(x，y)是橢圓＋y2＝1上的乙個動點，則s＝x＋y的最大值為________．
解析因為橢圓＋y2＝1的引數方程為(φ為引數)．
故可設動點p的座標為(cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π.
因此s＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2＝2sin，所以，當φ＝時，s取最大值2.故填2.
方法4：基本不等式法
①將最值用變數表示．
②利用基本不等式求得表示式的最值．
例4、求橢圓＋y2＝1內接矩形abcd面積的最大值．
二、圓錐曲線的範圍問題
方法1：曲線幾何性質法
①由幾何性質建立關係式；②化簡關係式求解．
例1、已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為f1，f2，點p在雙曲線的右支上，且|pf1|＝4|pf2|，則此雙曲線中的取值範圍是________．
解析根據雙曲線定義|pf1|－|pf2|＝2a，設|pf2|＝r，
則|pf1|＝4r，故3r＝2a，即r＝，|pf2|＝.
根據雙曲線的幾何性質，|pf2|≥c－a，即≥c－a，即≤，即e≤.又e＞1，
故雙曲線的離心率e的取值範圍是.故填.
方法2：判別式法
當直線和圓錐曲線相交、相切和相離時，分別對應著直線和圓錐曲線方程聯立消元後得到的一元二次方程的判別式大於零、等於零、小於零
2 聯立曲線方程，消元後求判別式；
②根據判別式大於零、小於零或等於零結合曲線性質求解．
例2、在平面直角座標系xoy中，經過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點p和q.
(1)求k的取值範圍；
(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為a，b，是否存在常數m，使得向量＋與共線？如果存在，求m值；如果不存在，請說明理由．
解 (1)由已知條件，知直線l的方程為y＝kx＋，
代入橢圓方程，得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0.①
由直線l與橢圓有兩個不同的交點p和q，得δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞，即k的取值範圍為∪.
(2)設p(x1，y1)，q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．
由方程①，知x1＋x2＝－.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.③
由a(，0)，b(0,1)，得＝(－，1)．
所以＋與共線等價於x1＋x2＝－(y1＋y2)，
將②③代入，解得k＝.由(1)知k＜－或k＞，
故不存在符合題意的常數k.
三、圓錐曲線的定值、定點問題
方法1：特殊到一般法
根據特殊情況能找到定值(或定點)的問題
2 根據特殊情況確定出定值或定點；
②對確定出來的定值或定點進行一般情況的證明．
例1、已知雙曲線c：x2－＝1，過圓o：x2＋y2＝2上任意一點作圓的切線l，若l交雙曲線於a，b兩點，證明：∠aob的大小為定值．
證明當切線的斜率不存在時，切線方程為x＝±.
當x＝時，代入雙曲線方程，得y＝±，
即a(，)，b(，－)，此時∠aob＝90°，
同理，當x＝－時，∠aob＝90°.
當切線的斜率存在時，設切線方程為y＝kx＋b，
則＝，即b2＝2(1＋k2)．
由直線方程和雙曲線方程消掉y，
得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0，
由直線l與雙曲線交於a，b兩點．
故2－k2≠0.設a(x1，y1)，b(x2，y2)．
則x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2
＝＋＋＝，
故x1x2＋y1y2＝＋＝，
由於b2＝2(1＋k2)，
故x1x2＋y1y2＝0，即·＝0，∠aob＝90°.
綜上可知，若l交雙曲線於a，b兩點，則∠aob的大小為定值90°.
方法2：引進引數法
定值、定點是變化中的不變數，引入引數找出與變數與引數沒有關係的點(或值)即是定點(或定值).
2 引進引數表示變化量；
②研究變化的量與引數何時沒有關係，找到定值或定點
【例2】如圖所示，曲線c1：＋＝1，曲線c2：y2＝4x，過曲線c1的右焦點f2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線c1，c2依次交於b，c，d，e四點．若g為cd的中點、h為be的中點，證明為定值．
解圓錐曲線最值與範圍問題的方法
方法1 定義法 例1 已知點f是雙曲線 1的左焦點，定點a的座標為 1,4 p是雙曲線右支上的動點，則 pf pa 的最小值為 解析如圖所示，根據雙曲線定義 pf pf 4，即 pf 4 pf 又 pa pf af 5，將 pf 4 pf 代入，得 pa pf 45，即 pa pf 9，等號當且僅當...
圓錐曲線中的最值問題 jsp
圓錐曲線中的最值問題，通常有兩類 一類是有關長度 面積等的最值問題 一類是圓錐曲線中有關幾何元素的最值問題。這些問題往往通過回歸定義，結合幾何知識，建立目標函式，利用函式的性質或不等式知識，以及觀形 設參 轉化 代換等途徑來解決。解題時要注意函式思想的應用，要注意觀察 分析圖形的特徵，將數和形結合起...
圓錐曲線定點 定直線 定值經典解答題
定點 定直線 定值問題 1 已知橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為 求橢圓的標準方程 若直線與橢圓相交於，兩點 不是左右頂點 且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證 直線過定點，並求出該定點的座標 標準答案 i 由題意設橢圓的標準方程為 ii 設，由得，以ab為直...