17、已知f是橢圓的左焦點，p是此橢圓上的動點，a(1,1)是一定點．
（1）求的最小值，並求點p的座標；（2）求的最大值和最小值．
解:(1)由橢圓的第二定義轉化知的最小值是，此時p；
(2)依題意，由橢圓的第二定義知∵∴∴
18、設f1、f2分別是橢圓的左、右焦點，若p是該橢圓上的乙個動點，
（ⅰ）求的最大值和最小值;（ⅱ）求的最大值和最小值．
解：易知，所以
設p（x, y），則
因為，故當x=0，即點p為橢圓短軸端點時，有最小值-2.
當，即點p為橢圓長軸端點時，有最大值1.
19、若雙曲線過點，其漸近線方程為.（i）求雙曲線的方程;
（ii）已知，,在雙曲線上求一點,使的值最小．
解：（ⅰ）（ii）,最小值為
20、以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應在何處？並求出此時的橢圓方程．
分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決．
解：如圖所示，橢圓的焦點為，．
點關於直線的對稱點的座標為（－9，6），直線的方程為．
解方程組得交點的座標為（－5，4）．此時最小．
所求橢圓的長軸：，∴，又，
∴．因此，所求橢圓的方程為．
21、已知動點p與雙曲線－=1的兩個焦點f1、f2的距離之和為6．
（ⅰ）求動點p的軌跡c的方程；（ⅱ）若=3，求⊿pf1f2的面積；
（ⅲ）若已知d(0,3)，m、n在軌跡c上且=λ，求實數λ的取值範圍．
解：①+=1；②2；③[,5]
22、 、是橢圓的左、右焦點，是橢圓的右準線，點，過點的直線交橢圓於、兩點.（1）當時，求的面積；（2）當時，求的大小；（3）求的最大值．
解：（1）
（2）因，
則（3）設
，當時，
23、已知定點、、，動點滿足：.（1）求動點的軌跡方程，並說明方程表示的圖形；（2）當時，求的最大值和最小值．
解：(1)設動點的座標為，
則，，.
∵，∴，
即.若，則方程為，表示過點且平行於軸的直線.
若，則方程為，
表示以為圓心，以為半徑的圓.
(2)當時，方程化為.
∴.又∵，
∴ 令，則
∴當時，的最大值為，當時，最小值為.
24、點a、b分別是以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓c長軸的左、右端點，點f是橢圓的右焦點，點p在橢圓c上，且位於x軸上方， （1）求橢圓c的的方程；（2）求點p的座標；（3）設m是橢圓長軸ab上的一點，點m到直線ap的距離等於|mb|，求橢圓上的點到m的距離d的最小值．
解（1）已知雙曲線實半軸a1=4，虛半軸b1=2，半焦距c1=，
∴橢圓的長半軸a2=c1=6，橢圓的半焦距c2=a1=4，橢圓的短半軸=，
∴所求的橢圓方程為
（2）由已知,，設點p的座標為，則
由已知得
則，解之得，
由於y>0，所以只能取，於是，所以點p的座標為9分
（3）直線，設點m是，則點m到直線ap的距離是，於是
又∵點m在橢圓的長軸上，即
∴當時，橢圓上的點到的距離
又 ∴當時，d取最小值
25、已知在平面直角座標系中，向量，且.（i）設的取值範圍；（ii）設以原點o為中心，對稱軸在座標軸上，以f為右焦點的橢圓經過點m，且取最小值時，求橢圓的方程.
解：（1）由，
得3分∴夾角的取值範圍是（）
6分 （2）
8分………………10分
∴當且僅當
或12分
橢圓長軸
或故所求橢圓方程為.或…………14分
26、已知點，一動圓過點且與圓內切．
（ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；（ⅱ）設點，點為曲線上任一點，求點到點距離的最大值；（ⅲ）在的條件下，設△的面積為（是座標原點，是曲線上橫座標為的點），以為邊長的正方形的面積為．若正數滿足，問是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．
解（ⅰ）設動圓圓心為，半徑為，已知圓圓心為，
由題意知，，於是，
所以點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，其方程為．
（ⅱ）設，則
，令，，所以，
當，即時在上是減函式，；
當，即時，在上是增函式，在上是減函式，則；
當，即時，在上是增函式，．
所以， ．
（ⅲ）當時, ,於是, ,（12分）
若正數滿足條件，則，即，
，令，設，則，，
於是，所以，當，即時，，
即，．所以，存在最小值．
27、已知點m（-2，0），n（2，0），動點p滿足條件|pm|-|pn|=2. 記動點p的軌跡為w.
（1）求w的方程；（2）若a、b是w上的不同兩點，o是座標原點，求的最小值．
（1）由|pm|-|pn|=2知動點p的軌跡是以m，n為焦點的雙曲線的右支，實半軸長a=.
又半焦距c=2，故虛半軸長b=
所以w的方程為，x≥.
（2）設a、b的座標分別為（x1，y1），（x2，y2）.
當ab⊥x軸時，x1=x2，y1=y2，從而·=x1x2+y1y2=
當ab與x軸不垂直時，設直線ab的方程為y=kx+m，與w的方程聯立，消去y得
（1-k2）x2-2kmx-m2-2=0，
故x1+x2=，x1x2=，
所以·=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2
=又因為x1x2>0，所以k2-1>0，從而·>2.
綜上，當ab⊥x軸時，·取得最小值2.
28、一束光線從點出發，經直線上一點反射後，恰好穿過點．（ⅰ）求點關於直線的對稱點的座標；（ⅱ）求以、為焦點且過點的橢圓的方程；（ⅲ）設直線與橢圓的兩條準線分別交於、兩點，點為線段上的動點，求點到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，並求取得最小值時點的座標．
解：（ⅰ）設的座標為，則且．……2分
解得， 因此，點的座標為4分
（ⅱ），根據橢圓定義，
得，……………5分
，．∴所求橢圓方程為7分
（ⅲ），橢圓的準線方程為8分
設點的座標為,表示點到的距離，表示點到橢圓的右準線的距離．
則，．10分
令，則在時取得最小值13分
因此，最小值＝，此時點的座標為．…………14分
注：的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得．
29、設f是橢圓的左焦點，直線l為其左準線，直線l與x軸交於點p，線段mn為橢圓的長軸，已知：（1）求橢圓c的標準方程；（2）若過點p的直線與橢圓相交於不同兩點a、b求證：∠afm=∠bfn；（3）求三角形abf面積的最大值．
解（1）
文6分，理4分）
（2）當ab的斜率為0時，顯然滿足題意
當ab的斜率不為0時，設，ab方程為代入橢圓方程
整理得則
綜上可知：恒有9分）
（3）當且僅當（此時適合△＞0的條件）取得等號.
三角形abf面積的最大值是13分）
圓錐曲線綜合訓練題四[弦長及面積]
30、已知雙曲線的方程為，設f1、f2分別是其左、右焦點．(1)若斜率為1且過f1 的直線交雙曲線於a、b兩點，求線段ab的長；(2)若p是該雙曲線左支上的一點，且，求的面積s．
解：（1）ab：，代入並整理得
設則（2）設，則2
在中，由餘弦定理有
31、已知橢圓及直線．（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程．
解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，
即．，解得．
（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫座標為，，由（1）得，．
根據弦長公式得 ：．解得．方程為．
32、已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓於，兩點，求弦的長．
分析：可以利用弦長公式求得，
也可以利用橢圓定義及餘弦定理，還可以利用焦點半徑來求．
解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解．
．因為，，所以．因為焦點在軸上，
所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為．
由直線方程與橢圓方程聯立得：．設，為方程兩根，所以，，， 從而．
(法2)利用橢圓的定義及餘弦定理求解．
由題意可知橢圓方程為，設，，則，．
在中，，即；
所以．同理在中，用餘弦定理得，所以．
(法3)利用焦半徑求解．
先根據直線與橢圓聯立的方程求出方程的兩根，，它們分別是，的橫座標．
再根據焦半徑，，從而求出．
33、設雙曲線方程的半焦距為，直線過兩點，已知原點到直線的距離為．（1）求雙曲線的離心率；（2）經過該雙曲線的右焦點且斜率為2的直線被雙曲線截得的弦長為15，求雙曲線的方程．
解：（12分
直線的方程為，即，由原點到直線的距離為得
，即4分
兩邊同時除以得，整理得，解得…5分
又，故雙曲線的離心率為6分
（2）由（1）知道即，所以設雙曲線的方程為
又由題意得直線方程為，代入雙曲線方程得 ……………………7分
，整理得8分
記直線與雙曲線的交點為，則有…9分
11分所求雙曲線方程為12分
34、已知的頂點在橢圓上，在直線上，且．
（ⅰ）當邊通過座標原點時，求的長及的面積；
（ⅱ）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．
解：（ⅰ）因為，且邊通過點，所以所在直線的方程為．
設兩點座標分別為．
由得．所以．
又因為邊上的高等於原點到直線的距離．所以，．
（ⅱ）設所在直線的方程為，由得．
圓錐曲線分類考點綜合訓練題
考點一 基本量 方程 離心率 弦長 軌跡 1.已知橢圓g 1 a b 0 的離心率為，右焦點為 2，0 斜率為1的直線l與橢圓g交於a，b兩點，以ab為底邊作等腰三角形，頂點為p 3,2 1 求橢圓g的方程 2 求 pab的面積 2.已知a b分別是橢圓的左右兩個焦點，o為座標原點，點p 在橢圓上，...
高中新課程高三複習訓練題 圓錐曲線
一 選擇題 本小題共12小題，每小題5分，共60分 1.準線方程為x 1的拋物線的標準方程是 a.b.c.d.2.曲線與曲線的 a.焦距相等 b.離心率相等 c.焦點相同 d.準線相同 3已知兩定點 且是與的等差中項，則動點p的軌跡方程是 a.b.c.d.4 已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線...
圓錐曲線的定義 方程和性質知識總結及試題
橢圓的定義 性質及標準方程 1.橢圓的定義 第一定義 平面內與兩個定點的距離之和等於常數 大於 的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。第二定義 動點到定點的距離和它到定直線的距離之比等於常數，則動點的軌跡叫做橢圓。定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數叫做橢...