定點、定直線、定值問題
1、已知橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．
（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）若直線與橢圓相交於，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，並求出該定點的座標．
【標準答案】(i)由題意設橢圓的標準方程為
， (ii)設，由得，
，.以ab為直徑的圓過橢圓的右頂點，，
(最好是用向量點乘來)，
，，解得，且滿足.
當時，，直線過定點與已知矛盾；
當時，，直線過定點
綜上可知，直線過定點，定點座標為
2、已知橢圓c的離心率，長軸的左右端點分別為，。（ⅰ）求橢圓c的方程；（ⅱ）設直線與橢圓c交於p、q兩點，直線與交於點s。試問：
當m變化時，點s是否恆在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，並證明你的結論；若不是，請說明理由。
解法一：（ⅰ）設橢圓的方程為1分
4分∴橢圓的方程為5分
（ⅱ）取得，直線的方程是
直線的方程是交點為 …………7分,
若，由對稱性可知交點為
若點在同一條直線上，則直線只能為。…………………8分
以下證明對於任意的直線與直線的交點均在直線上。事實上，由得即，
記，則9分
設與交於點由得
設與交於點由得……… 10
，……12分
∴，即與重合，這說明，當變化時，點恆在定直線上。 13分
解法二：（ⅱ）取得，直線的方程是直線的方程是交點為7分
取得，直線的方程是直線的方程是交點為∴若交點在同一條直線上，則直線只能為8分
以下證明對於任意的直線與直線的交點均在直線上。事實上，由得即，記，則。………………9分
的方程是的方程是消去得… ①以下用分析法證明時，①式恆成立。要證明①式恆成立，只需證明即證即證式恆成立。這說明，當變化時，點恆在定直線上。
解法三：（ⅱ）由得即。
記，則6分
的方程是的方程是7分
由得9分
即12分
這說明，當變化時，點恆在定直線上13分
3、已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值
為，離心率為﹒
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）過點作直線交於、兩點，試問：在軸上是否存在乙個定點，為定值？若存在，求出這個定點的座標；若不存在，請說明理由﹒
解：（i）設橢圓e的方程為,由已知得2分
橢圓e的方程為。。。。 3分
（ⅱ）法一：假設存在符合條件的點，又設，則：
。。。。。 5分
①當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，則
由得 7分
所以 9分
對於任意的值，為定值，所以，得，
所以； 11分
②當直線的斜率不存在時，直線
由得綜上述①②知，符合條件的點存在，起座標為﹒ 13分
法二：假設存在點，又設則：
=…. 5分
①當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，
由得 7分
9分設則 11分
②當直線的斜率為0時，直線，由得：
綜上述①②知，符合條件的點存在，其座標為 。。。。13分
4、已知橢圓的焦點在軸上，它的乙個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率，過橢圓的右焦點作與座標軸不垂直的直線，交橢圓於、兩點。
（i）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）設點是線段上的乙個動點，且，求的取值範圍；
（ⅲ）設點是點關於軸的對稱點，在軸上是否存在乙個定點，使得、、
三點共線？若存在，求出定點的座標，若不存在，請說明理由。
解法一： （i）設橢圓方程為，由題意知
故橢圓方程為
（ⅱ）由（i）得，所以，設的方程為（）
代入，得設
則,由，
當時，有成立。
（ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。依題意知，直線bc的方程為， 令，則
的方程為、在直線上，
在軸上存在定點，使得三點共線。
解法二：（ⅱ）由（i）得，所以。設的方程為
代入，得設則
當時，有成立。
（ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。
設存在使得、、三點共線，則，
，即， 存在，使得三點共線。
6、（福建卷）已知橢圓的左焦點為f，o為座標原點。
（ⅰ）求過點o、f，並且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；
（ⅱ）設過點f且不與座標軸垂直交橢圓於a、b兩點，線段
ab的垂直平分線與x軸交於點g，求點g橫座標的取值範圍.
本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力。
解：（i）圓過點o、f， m在直線上。
設則圓半徑
由得解得
所求圓的方程為
（ii）設直線ab的方程為
代入整理得
直線ab過橢圓的左焦點f，方程有兩個不等實根。
記中點則
的垂直平分線ng的方程為令得
點g橫座標的取值範圍為
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圓錐曲線定點定值技巧 教師版
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