1．已知過點，且斜率為的直線與圓相交於兩點.
（1）求實數的取值範圍；
（2）求證：為定值；
2．已知圓c：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）關於直線3x﹣2y=0對稱，且與直線3x﹣4y+1=0相切．
（1）求圓c的方程；
（2）若直線l：y=kx+2與圓c交於m，n兩點，是否存在直線l，使得（o為座標原點）若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
3．已知圓，直線過點且與圓相切 .
（i）求直線的方程；
（ii）如圖，圓與軸交於兩點，點是圓上異於的任意一點，過點且與軸垂直的直線為，直線交直線於點，直線交直線於點，求證：以為直徑的圓與軸交於定點，並求出點的座標 .
4．已知圓,直線
（1）若直線與圓相交於兩點，弦長等於，求的值；
（2）已知點，點為圓心，若在直線上存在定點（異於點），滿足：對於圓上任一點，都有為一常數，試求所有滿足條件的點的座標及改常數．
5．如圖在平面直角座標系xoy中，圓c的方程為，且圓c與y軸交於m,n兩點（點n在點m的上方），直線與圓c交於a，b兩點。
（1）若，求實數k的值。
（2）設直線am，直線bn的斜率分別為，若存在常數使得恆成立？若存在，求出a的值.若不存在請說明理由。
（3）若直線am與直線bn相較於點p，求證點p在一條定直線上。
參***
1．(1) ； (2)見解析.
【解析】
【分析】
(1)由題意可得，直線的斜率存在，用點斜式求得直線的方程，根據圓心到直線的距離等於半徑求得的值，可得滿足條件的的範圍；(2)由題意可得,經過點的直線方程為，代入圓的方程化簡,再利用一元二次方程根與係數的關係求得和的值，可得的值，利用，即可得出結論.
【詳解】
（1）由題意過點且斜率為的直線的方程為，
代入圓的方程得，
∵直線與圓相交於兩點，
所以，解得，
∴實數的取值範圍是.
（2）證明：設,，，
所以，∴為定值.
【點睛】
探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變數無關；② 直接推理、計算，並在計算推理的過程中消去變數，從而得到定值.
2．（1）（x﹣2）2+（y﹣3）2=1（2）不存在直線l
【解析】
【分析】
（1）根據題意，分析可得，解可得a、b的值，由圓的標準方程即可得答案；
（2）假設存在滿足題意的直線l，設m（x1，y1）n（x2，y2），聯立直線與圓的方程，由直線與圓相交可得△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0，由數量積的計算公式可得=（1+k2）++4=6，解可得k的值，驗證是否滿足△＞0，即可得答案．
【詳解】
（1）根據題意，圓c：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）關於直線3x﹣2y=0對稱，
即圓心（a，b）在直線3x﹣2y=0上，
圓c與直線3x﹣4y+1=0相切，則c到直線l的距離d=r=1，
則有，解得或（舍）
∴圓c的方程為（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．
（2）假設存在直線l，使得=6，設m（x1，y1）n（x2，y2），
由得（1+k2）x2﹣（2k+4）x+4=0，
由△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0得，且，
=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）++4=6，
解得k=﹣1或，不滿足△＞0，
所以不存在直線l，使得=6．
【點睛】
本題考查直線與圓方程的綜合應用，涉及向量數量積的計算，注意圓c關於直線3x﹣2y=0對稱，則圓心在直線上．
3．（1）.
（2）證明見解析；定點或.
【解析】
【分析】
（1）由已知中直線過點，我們可以設出直線的點斜式方程，化為一般式方程後，代入點到直線距離公式，根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等於半徑，可以求出k的值，進而得到直線的方程；
（2）由已知我們易求出p,q兩個點的座標，設出m點的座標，我們可以得到點p與q的座標，進而得到以為直徑的圓的方程，根據圓的方程即可判斷結論.
【詳解】
(ⅰ)由題意得，直線的斜率存在.
設直線的方程為.
因為直線與圓相切，
所以.所以.
所以直線方程為
(ⅱ)由題意得，點，點.
設點，則.
直線的方程為.
所以直線與直線的交點為點.
直線的方程為.
所以直線與直線的交點為點.
設點.則，.
因為以為直徑的圓與軸交於定點,
所以解得.
所以定點或.
【點睛】
該題考查的是有關直線與圓的方程的應用問題，涉及到的知識點有過圓外一點圓的切線方程的求法，圓與直線的交點，直線方程的點斜式，圓的方程的問題，直徑所對的圓周角為直角，垂直應用向量的數量積等於零等，認真分析題意，求得結果.
4．(1) 或.
(2) 在直線上尋在定點，使得為常數．
【解析】分析：（1）由弦長等於，結合圓的半徑為，利用勾股定理可得圓心到直線的距離，根據點到直線距離公式列方程求解即可；（2）直線的方程為，假設存在定點滿足題意，設，，平方後可
所以且，解得，（捨去，與重合），，，從而可得結果.
詳解：（1）由弦長等於，結合圓的半徑為，利用勾股定理可得圓心到直線的距離，利用點到直線距離公式列方程可得或；
（2）由題知，直線的方程為，假設存在定點滿足題意，
則設，，
得，且所以
整理得：
因為，上式對於任意恆成立，
所以且解得，所以，（捨去，與重合），，
綜上可知，在直線上尋在定點，使得為常數．
點睛：本題主要考查直線與圓的位置關係、解析幾何中的定點問題以及點在曲線上問題，屬於難題. )存在性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在.
①當條件和結論不唯一時要分類討論.②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件.③當條件和結論都不知，按常規方法很難時，採取另外的途徑.
5．（1）.
（2）存在實數，使得恆成立；理由見解析.
（3）證明見解析.
【解析】分析：（1）先設出直線的方程，利用圓中的特殊三角形：弦心距，半弦長和圓的半徑構成直角三角形，勾股定理求得結果；
（2）先假設存在，利用題的條件，得到其相關的式子，求得對應的值，得到結果；
（3）根據題意，得到點所滿足的條件，從而求得結果.
詳解：（1）∵圓： ∴圓心，半徑
∵直線與圓相交於，兩點，且
∴圓心到的距離為 ∴，解得：
（2）∵圓與軸交於，兩點（點在點上方）
∴∴，設
直線與圓方程聯立：，化簡得：
∴，同理可求：
∵三點共線，且，
∴，化簡得：
∵ ∴，即
∴存在實數，使得恆成立．
（3）設∴且 ∴
由（2）知：，代入得：為定值
∴點在定直線上
點睛：該題考查的是有關直線與圓的問題，涉及到的知識點有直線被圓截得的弦長問題，在解題的過程中，注意圓中直角三角形的靈活應用；再者就是有關是否存在類問題的解法都是先假設存在，根據題意求得結果；最後要證點在某條直線上，就要找點的座標所滿徐的條件，最後求得結果.
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