專題：基本不等式求最值的型別及方法
一、幾個重要的基本不等式：
①當且僅當a = b時，「=」號成立；
②當且僅當a = b時，「=」號成立；
③當且僅當a = b = c時,「=」號成立；
④,當且僅當a = b = c時,「=」號成立.
注：① 注意運用均值不等式求最值時的條件：一「正」、二「定」、三「等」；
② 熟悉乙個重要的不等式鏈： 。
二、函式圖象及性質
(1)函式圖象如圖：
(2)函式性質：
①值域：；
②單調遞增區間：，；單調遞減區間：，.
三、用均值不等式求最值的常見型別
型別ⅰ：求幾個正數和的最小值。
例1、求函式的最小值。
解析：，當且僅當即時，「=」號成立，故此函式最小值是。
評析：利用均值不等式求幾個正數和的最小值時，關鍵在於構造條件，使其積為常數。通常要通過新增常數、拆項（常常是拆底次的式子）等方式進行構造。
型別ⅱ：求幾個正數積的最大值。
例2、求下列函式的最大值：
解析：①，
∴，當且僅當即時，「=」號成立，故此函式最大值是1。
②，則，欲求y的最大值，可先求的最大值。
,當且僅當，即時 「=」號成立，故此函式最大值是。
評析：利用均值不等式求幾個正數積的最大值，關鍵在於構造條件，使其和為常數。通常要通過乘以或除以常數、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進行構造。
型別ⅲ：用均值不等式求最值等號不成立。
例3、若x、y，求的最小值。
解法一：（單調性法）由函式圖象及性質知，當時，函式是減函式。證明：任取且，則
，∵，∴，則，
即在上是減函式。故當時，在上有最小值5。
解法二：（配方法）因，則有，
易知當時，且單調遞減，則在上也是減函式，
即在上是減函式，當時，在上有最小值5。
解法三：（拆分法），
當且僅當時「=」號成立，故此函式最小值是5。
評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調性法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。
型別ⅳ：條件最值問題。
例4、已知正數x、y滿足，求的最小值。
解法一：（利用均值不等式）,
當且僅當即時「=」號成立，故此函式最小值是18。
解法二：（消元法）由得，由，則。
當且僅當即時「=」號成立，故此函式最小值是18。
解法三：（三角換元法）令則有
則： ，易求得時「=」號成立，故最小值是18。
評析：此類問題是學生求解易錯得一類題目，解法一學生普遍有這樣一種錯誤的求解方法：。原因就是等號成立的條件不一致。
型別ⅴ：利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。
例5、已知正數滿足，試求、的範圍。
解法一：由，則，
即解得，
當且僅當即時取「=」號，故的取值範圍是。
又，當且僅當即時取「=」號，故的取值範圍是。
解法二：由，知，
則：，由，
則： ，
當且僅當，並求得時取「=」號，故的取值範圍是。
，當且僅當，並求得時取「=」號，故的取值範圍是。
評析：解法一具有普遍性，而且簡潔實用，易於掌握，解法二要求掌握構造的技巧。
四、均值不等式易錯例析：
例1. 求函式的最值。
錯解：當且僅當即時取等號。所以當時，y的最小值為25，此函式沒有最大值。
分析：上述解題過程中應用了均值不等式，卻忽略了應用均值不等式求最值時的條件導致錯誤。因為函式的定義域為，所以須對的正負加以分類討論。
正解：1）當時，
當且僅當即時取等號。所以當時，
2）當時，，
當且僅當，即時取等號，所以當時，.
例2. 當時，求的最小值。
錯解：因為
所以當且僅當即時，。
分析：用均值不等式求「和」或「積」的最值時，必須分別滿足「積為定值」或「和為定值」，而上述解法中與的積不是定值，導致錯誤。
正解：因為
當且僅當，即時等號成立，所以當時，。
例3. 求的最小值。
錯解：因為，所以
分析：忽視了取最小值時須成立的條件，而此式化解得，無解，所以原函式取不到最小值。
正解：令，則
又因為時，是遞增的。所以當，即時，。
例4.已知且，求的最小值.
錯解： , ,的最小值為.
分析：解題時兩次運用均值不等式，但取等號條件分別為和，而這兩個式子不能同時成立，故取不到最小值.
正解：當且僅當即時等號成立.的最小值為.
綜上所述，應用均值不等式求最值要注意：
一要正：各項或各因式必須為正數；
二可定：必須滿足「和為定值」或「積為定值」，要湊出「和為定值」或「積為定值」的式子結構，如果找不出「定值」的條件用這個定理，求最值就會出錯；
三能等：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那麼求出的仍不是最值。
技巧一：湊項
例1：已知，求函式的最大值。
解：因，所以首先要「調整」符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，， ，
當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。
技巧二：湊係數
例2. 當時，求的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，注意到為定值，故只需將湊上乙個係數即可。
當，即x＝2時取等號當x＝2時，的最大值為8。
技巧三： 分離
例3. 求的值域。
解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。
當,即時,（當且僅當x＝1時取「＝」號）。
技巧四：換元
解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。
當,即t=時,（當t=2即x＝1時取「＝」號）。
技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函式的單調性。例：求函式的值域。
解：令，則
因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性。
因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函式，故。
所以，所求函式的值域為。
技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。
2：已知，且，求的最小值。
解：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， 。
鞏固練習：
1、已知：且，則的最大值為( )
(ab) (c) (d)
2、若，且恆成立，則a的最小值是( )
(abc)2d)1
3、已知下列不等式：①；②；
③.其中正確的個數是( )
(a)0個 (b)1個 (c)2個 (d)3個
4、設，則下列不等式中不成立的是( )
(a) (b) (c) (d)
5、設且的最大值是( )
(a) (b) (c) (d)
6、若實數滿足，則的最小值是( )
(a)18b)6cd)
7、若正數滿足，則的取值範圍是
8、若,且，則的最小值為基本不等式
知識點：
1. (1)若，則 (2)若，則 （當且僅當時取「=」）
2. (1)若，則 (2)若，則 （當且僅當時取「=」）
(3)若，則 (當且僅當時取「=」）
3.若，則(當且僅當時取「=」）
若，則(當且僅當時取「=」）
若，則 (當且僅當時取「=」）
4.若，則 (當且僅當時取「=」）若，則 (當且僅當時取「=」）
5.若，則（當且僅當時取「=」）
注意：(1)當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，
當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂「積定和最小，和定積最大」．
(2)求最值的條件「一正，二定，三取等」
(3)均值定理在求最值、比較大小、求變數的取值範圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用
應用一：求最值
例：求下列函式的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
解：(1)y＝3x 2＋≥2＝∴值域為[，+∞）
(2)當x＞0時，y＝x＋≥2＝2；
當x＜0時， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2
∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）
解題技巧
技巧一：湊項
例已知，求函式的最大值。
解：因，所以首先要「調整」符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，
， 當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。
技巧二：湊係數
例： 當時，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上乙個係數即可。
當，即x＝2時取等號當x＝2時，的最大值為8。
變式：設，求函式的最大值。
解：∵∴∴
當且僅當即時等號成立。
技巧三： 分離
技巧四：換元
例：求的值域。
解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。
當,即時,（當且僅當x＝1時取「＝」號）。
解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。
當,即t=時,（當t=2即x＝1時取「＝」號）。
技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結合函式的單調性。
例：求函式的值域。
解：令，則
因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性。
因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函式，故。
所以，所求函式的值域為。
技巧六：整體代換
多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。
例：已知，且，求的最小值。
錯解： ，且， 故 。
錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。
正解：，
當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， 。
技巧七例：已知x，y為正實數，且x 2＋＝1，求x的最大值.
分析：因條件和結論分別是二次和一次，故採用公式ab≤。
同時還應化簡中y2前面的係數為， x＝x＝x·
下面將x，分別看成兩個因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x≤
技巧八：
已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函式y＝的最小值.
分析：這是乙個二元函式的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函式問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮後，再通過解不等式的途徑進行。
全 基本不等式應用,利用基本不等式求最值的技巧,題型分析
基本不等式知識點以及常見題型 一 基本不等式 1.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 2.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 3 若，則 當且僅當時取 3.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 3.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 4.若，則 當且僅當時取 ...
利用基本不等式求最值的技巧 題型分析
基本不等式應用 注 1 當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最大值，正所謂 積定和最小，和定積最大 2 求最值的條件 一正，二定，三取等 3 均值定理在求最值 比較大小 求變數的取值範圍 證明不等式 解決實際問題方面有廣泛的應用 應用一 求最值 例...
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