基本不等式知識點以及常見題型
一．基本不等式
1.（1）若，則 (2)若，則（當且僅當時取「=」）
2. (1)若，則 (2)若，則（當且僅當時取「=」）
(3)若，則 (當且僅當時取「=」）
3.若，則(當且僅當時取「=」）;若，則(當且僅當時取「=」）
若，則 (當且僅當時取「=」）
3.若，則 (當且僅當時取「=」）
若，則 (當且僅當時取「=」）
4.若，則（當且僅當時取「=」）
注：（1）當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂「積定和最小，和定積最大」．
（2）求最值的條件「一正，二定，三取等」
(3)均值定理在求最值、比較大小、求變數的取值範圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用．
應用一：求最值
例1：求下列函式的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
解：（1）y＝3x 2＋≥2＝∴值域為[，+∞）
（2）當x＞0時，y＝x＋≥2＝2；
當x＜0時， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2
∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）
解題技巧：
技巧一：湊項
例1：已知，求函式的最大值。
解：因，所以首先要「調整」符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，
， 當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。
評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的係數，使其積為定值。
技巧二：湊係數
例1. 當時，求的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上乙個係數即可。
當，即x＝2時取等號當x＝2時，的最大值為8。
評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊係數後可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。
變式：設，求函式的最大值。
解：∵∴∴
當且僅當即時等號成立。
技巧三： 分離
例3. 求的值域。
解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。
當,即時,（當且僅當x＝1時取「＝」號）。
技巧四：換元
解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。
當,即t=時,（當t=2即x＝1時取「＝」號）。
評注：分式函式求最值，通常直接將分子配湊後將式子分開或將分母換元後將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恆正或恆負的形式，然後運用基本不等式來求最值。
技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函式的單調性。例：求函式的值域。
解：令，則
因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性。
因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函式，故。
所以，所求函式的值域為。
練習．求下列函式的最小值，並求取得最小值時，x 的值.
（1）（2） (3)
2．已知，求函式的最大值.；3．，求函式的最大值.
條件求最值
1.若實數滿足，則的最小值是
分析：「和」到「積」是乙個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，
解：都是正數，≥
當時等號成立，由及得即當時，的最小值是6．
變式：若，求的最小值.並求x,y的值
技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。
2：已知，且，求的最小值。
錯解： ，且， 故。
錯因：解法中兩次連用基本不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。
正解：，
當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， 。
變式： （1）若且，求的最小值
(2)已知且，求的最小值
技巧七、已知x，y為正實數，且x 2＋＝1，求x的最大值.
分析：因條件和結論分別是二次和一次，故採用公式ab≤。
同時還應化簡中y2前面的係數為， x＝x＝x·
下面將x，分別看成兩個因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x≤
技巧八：已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函式y＝的最小值.
分析：這是乙個二元函式的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函式問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮後，再通過解不等式的途徑進行。
法一：a＝， ab＝·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
∴ ab≤18 ∴ y≥當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 ∴ 30－ab≥2
令u＝ 則u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
∴≤3，ab≤18，∴y≥
點評：①本題考查不等式的應用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等式出發求得的範圍，關鍵是尋找到之間的關係，由此想到不等式，這樣將已知條件轉換為含的不等式，進而解得的範圍.
變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。
技巧九、取平方
5、已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函式w＝＋的最值.
解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關係，≤，本題很簡單
＋≤＝＝2
解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函式式為積的形式，再向「和為定值」條件靠攏。
w＞0，w2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20
∴ w≤＝2
變式: 求函式的最大值。
解析：注意到與的和為定值。
又，所以
當且僅當=，即時取等號。 故。
評注：本題將解析式兩邊平方構造出「和為定值」，為利用基本不等式創造了條件。
總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意「一正二定三相等」，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用基本不等式。
應用二：利用基本不等式證明不等式
1．已知為兩兩不相等的實數，求證：
1）正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例6：已知a、b、c，且。求證：
分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個「2」連乘，又，可由此變形入手。
解： a、b、c，。。同理，。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得
。當且僅當時取等號。
應用三：基本不等式與恆成立問題
例：已知且，求使不等式恆成立的實數的取值範圍。
解：令，
。， 應用四：均值定理在比較大小中的應用：
例：若，則的大小關係是 .
分析：∵ ∴
（ ∴r>q>p。
基本不等式應用
一 基本不等式 1.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 2.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 3 若，則 當且僅當時取 3.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 3.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 4.若，則 當且僅當時取 注 1 當兩個正數的積為定植時...
基本不等式
教學重點 基本不等式成立的三個必要條件 一正二定三相等教學難點 積或 和 變換為定值的技巧 教學方法 師生探求，揭示規律 教學過程 基本不等式 當且僅當a b取等號 1 感受基本不等式成立的必要條件之一 正數例1.若 設計意圖 轉化為用基本不等式求解 2 感受基本不等式成立的必要條件之二 定值練習1...
全 基本不等式應用 學生
一 基本不等式 1.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 2.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 3 若，則 當且僅當時取 3.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 3.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 4.若，則 當且僅當時取 注 1 當兩個正數的積為定植時...