高三理應培優
均值不等式是《不等式》一章重要內容之一，是求函式最值的乙個重要工具，也是高考常考的乙個重要知識點。要求能熟練地運用均值不等式求解一些函式的最值問題。
一、幾個重要的均值不等式
①當且僅當a = b時，「=」號成立；
②當且僅當a = b時，「=」號成立；
③當且僅當a = b = c時,「=」號成立；
④,當且僅當a = b = c時,「=」號成立.
注：① 注意運用均值不等式求最值時的條件：一「正」、二「定」、三「等」；
② 熟悉乙個重要的不等式鏈： 。
二、函式圖象及性質
(1)函式圖象如圖：
(2)函式性質：
①值域：；
②單調遞增區間：，；單調遞減區間：，.
三、用均值不等式求最值的常見型別與解題技巧
型別ⅰ：求幾個正數和的最小值。
例1、求函式的最小值。
（技巧1：湊項）解：
，當且僅當即時，「=」號成立，故此函式最小值是。
評析：利用均值不等式求幾個正數和的最小值時，關鍵在於構造條件，使其積為常數。通常要通過新增常數、拆項（常常是拆低次的式子）等方式進行構造。
型別ⅱ：求幾個正數積的最大值。
例2、求下列函式的最大值：
②解析：①，
∴，當且僅當即時，「=」號成立，故此函式最大值是1。
（技巧2、取平方）②，則，欲求y的最大值，可先求的最大值。
,當且僅當，即時，
不等式中的「=」號成立，故此函式最大值是。
技巧3： 分離例3. 求的值域。
解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。
當,即時,（當且僅當x＝1時取「＝」號）。
技巧4：換元
解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。
當,即t=時,（當t=2即x＝1時取「＝」號）。
評注：分式函式求最值，通常直接將分子配湊後將式子分開或將分母換元後將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恆正或恆負的形式，然後運用基本不等式來求最值。
評析：利用均值不等式求幾個正數積的最大值，關鍵在於構造條件，使其和為常數。通常要通過乘以或除以常數、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進行構造。
型別ⅲ：用均值不等式求最值等號不成立。
技巧5：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函式的單調性。
例4、若x、y，求的最小值。
解法一：（單調性法）由函式圖象及性質知，當時，函式是減函式。證明：任取且，
則，∵，∴，則，
即在上是減函式。
故當時，在上有最小值5。
解法二：（配方法）因，則有，
易知當時，且單調遞減，則在上也是減函式，
即在上是減函式，當時，在上有最小值5。
解法三：（導數法）由得，當時，，
則函式在上是減函式。故當時，在上有最小值5。
評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調性法、導數法具有一般性，配方法也是較為簡潔實用得方法。
型別ⅳ：條件最值問題。
例5、已知正數x、y滿足，求的最小值。
技巧6：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。
解法一：（利用均值不等式）,
當且僅當即時「=」號成立，故此函式最小值是18。
技巧7 消元.解法二：（消元法）由得，由
則。當且僅當即時「=」號成立，故此函式最小值是18。
解法三：（三角換元法）令則有
則： ，
易求得時「=」號成立，故最小值是18。
評析：此類問題是學生求解易錯得一類題目，解法一學生普遍有這樣一種錯誤的求解方法：。原因就是等號成立的條件不一致。
技巧8：湊係數
例6. 當時，求的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上乙個係數即可。
當，即x＝2時取等號當x＝2時，的最大值為8。
評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊係數後可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。
變式：設，求函式的最大值。
解：∵∴∴
當且僅當即時等號成立。
型別ⅴ：利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。
例7、已知正數滿足，試求、的範圍。
解法一：由，則，
即解得，
當且僅當即時取「=」號，故的取值範圍是。
又，當且僅當即時取「=」號，故的取值範圍是。
解法二：由，知，
則：，由，
則： ，
當且僅當，並求得時取「=」號，故的取值範圍是。
，當且僅當，並求得時取「=」號，故的取值範圍是。
評析：解法一具有普遍性，而且簡潔實用，易於掌握，解法二要求掌握構造的技巧。
四、均值不等式易錯例析：
例8. 求函式的最值。
錯解：當且僅當即時取等號。所以當時，y的最小值為25，此函式沒有最大值。
分析：上述解題過程中應用了均值不等式，卻忽略了應用均值不等式求最值時的條件，兩個數都應大於零，因而導致錯誤。因為函式的定義域為，所以必須對的正負加以分類討論。
正解：1）當時，
當且僅當即時取等號。所以當時，
2）當時，，
當且僅當，即時取等號，所以當時，.
例9. 當時，求的最小值。
錯解：因為
所以當且僅當即時，。
分析：用均值不等式求「和」或「積」的最值時，必須分別滿足「積為定值」或「和為定值」，而上述解法中與的積不是定值，導致應用錯誤。
正解：因為
當且僅當，即時等號成立，所以當時，。
例10. 求的最小值。
錯解：因為，所以
分析：忽視了取最小值時須成立的條件，而此式化解得，無解，所以原函式取不到最小值。
正解：令，則
又因為時，是遞增的。所以當，即時，。
例11.已知且，求的最小值.
錯解： , ,的最小值為.
分析：解題時兩次運用均值不等式，但取等號條件分別為和，而這兩個式子不能同時成立，故取不到最小值.
正解：當且僅當即時等號成立.的最小值為.
綜上所述，應用均值不等式求最值要注意：
一要正：各項或各因式必須為正數；
二可定：必須滿足「和為定值」或「積為定值」，要湊出「和為定值」或「積為定值」的式子結構，如果找不出「定值」的條件用這個定理，求最值就會出錯；
三能等：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那麼求出的仍不是最值。
鞏固練習：
1、已知：且，則的最大值為( )
(ab) (c) (d)
2、若，且恆成立，則a的最小值是( )
(abc)2d)1
3、已知下列不等式：
①；②；
③.其中正確的個數是( )
(a)0個 (b)1個 (c)2個 (d)3個
4、設，則下列不等式中不成立的是( )
(a) (b) (c) (d)
5、設且的最大值是( )
(a) (b) (c) (d)
6、若實數滿足，則的最小值是( )
(a)18b)6cd)
7、若正數滿足，則的取值範圍是
8、若,且，則的最小值為
9、若，則中最大的是
用均值不等式求最值的型別及方法
均值不等式是 不等式 一章重要內容之一，是求函式最值的乙個重要工具，也是高考常考的乙個重要知識點。要求能熟練地運用均值不等式求解一些函式的最值問題。一 幾個重要的均值不等式 當且僅當a b時，號成立 當且僅當a b時，號成立 當且僅當a b c時,號成立 當且僅當a b c時,號成立.注 注意運用均...
利用均值不等式求最值的方法
均值不等式當且僅當a b時等號成立 是乙個重要的不等式，利用它可以求解函式最值問題。對於有些題目，可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進行必要的變形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的變形方法。一 配湊 1.湊係數 例1.當時，求的最大值。解析 由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定...
用均值不等式求最值的方法和技巧學生版
一 幾個重要的均值不等式 當且僅當a b時，號成立 當且僅當a b時，號成立 當且僅當a b c時,號成立 當且僅當a b c時,號成立.注 注意運用均值不等式求最值時的條件 一 正 二 定 三 等 熟悉乙個重要的不等式鏈 二 用均值不等式求最值的常見的方法和技巧 1 求幾個正數和的最小值。例1 求...