龐景生深圳市寶安高階中學 （518128） 廣東
在運用基本不等式與或其變式解題時,要注意如下技巧
1：配係數
【例1】已知，求的最大值.
【分析】按照「和定積最大」的思路，由於不是定值，所以應把配出係數成為，使得為定值.
【解】由於，所以,從而
，當且僅當即時，.
說明:這裡運用了.
2:新增項
【例2】已知，求的最小值.
【分析】按照「積定和最小」的思路，由於不是定值，所以應把變湊成,使得為定值.
【解】由於,所以,於是
,當且僅當即時，.
3:分拆項
【例3】已知，求的最小值.
【分析】按照「積定和最小」的思路，必須把分拆成兩項,再配湊適當的係數,使得其積為定值.
【解】由於,所以,
當且僅當即時，.
4:巧用」1」代換
【例4】已知正數滿足,求的最小值.
【解】注意到,當且僅當即時，.
一般地有, ,其中都是正數.這裡巧妙地利用」1」作出了整體換元,從而使問題獲得巧解.
【例5】已知正數滿足，求的最小值.
【解】注意到
,當且僅當, ,即時，.
5:換元
【例6】已知,求的最小值.
【解】設,則,都是正數,所以,當且僅當即時，取到最小值是.
說明:換元的目的是為了簡單化與熟悉化,如果利用整體思想也可以不換元.
【例7】已知,求的最大值.
【解】設,則, ,當且僅當即時，.
說明:這裡如果不換元,則運算不是很方便.
6:利用對稱性
【例8】已知正數滿足，求的最大值.
【分析】由於條件式與結論式都是關於正數輪換對稱的,故最大值必然是當時取到,這時,從而得到下面證明思路與方向
【解】利用基本不等式得,
, ,以上三式同向相加得,所以化簡得,所以當且僅當時取到最大值.
一般地,如果條件式與結論式都是關於各個元素輪換對稱的,則最值必定是在各個元素相等時取到.利用這一思想往往可給解題者提供解題的方向與思路.
7:直接運用化為其它
【例9】已知正數滿足,求的取值範圍.
【分析】由於條件式含有,它們都在式中出現,故可直接運用基本不等式轉化為待求式的關係式後再求.
【解】利用基本不等式得,令,則得,所以,由於,所以即,故的取值範圍是.
全 基本不等式應用,利用基本不等式求最值的技巧,題型分析
基本不等式知識點以及常見題型 一 基本不等式 1.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 2.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 3 若，則 當且僅當時取 3.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 3.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 4.若，則 當且僅當時取 ...
利用基本不等式求最值的技巧 題型分析
基本不等式應用 注 1 當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最大值，正所謂 積定和最小，和定積最大 2 求最值的條件 一正，二定，三取等 3 均值定理在求最值 比較大小 求變數的取值範圍 證明不等式 解決實際問題方面有廣泛的應用 應用一 求最值 例...
利用均值不等式求最值的方法
均值不等式當且僅當a b時等號成立 是乙個重要的不等式，利用它可以求解函式最值問題。對於有些題目，可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進行必要的變形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的變形方法。一 配湊 1.湊係數 例1.當時，求的最大值。解析 由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定...