均值不等式當且僅當a＝b時等號成立）是乙個重要的不等式，利用它可以求解函式最值問題。對於有些題目，可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進行必要的變形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的變形方法。
一、配湊
1. 湊係數
例1. 當時，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上乙個係數即可。
當且僅當，即x＝2時取等號。
所以當x＝2時，的最大值為8。
評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊係數後可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。
2. 湊項
例2. 已知，求函式的最大值。
解析：由題意知，首先要調整符號，又不是定值，故需對進行湊項才能得到定值。∵∴
當且僅當，即時等號成立。
評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的係數，使其積為定值。
3. 分離
例3. 求的值域。
解析：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。
當，即時
（當且僅當x＝1時取「＝」號）。
當，即時
（當且僅當x＝－3時取「＝」號）。
∴的值域為。
評注：分式函式求最值，通常化成，g(x)恆正或恆負的形式，然後運用均值不等式來求最值。
二、整體代換
例4. 已知，求的最小值。
解法1：不妨將乘以1，而1用a＋2b代換。
當且僅當時取等號，由
即時，的最小值為。
解法2：將分子中的1用代換。
評注：本題巧妙運用「1」的代換，得到，而與的積為定值，即可用均值不等式求得的最小值。
三、換元
例5. 求函式的最大值。
解析：變數代換，令，則
當t＝0時，y＝0
當時，當且僅當，即時取等號。
故。評注：本題通過換元法使問題得到了簡化，而且將問題轉化為熟悉的分式型函式的求最值問題，從而為構造積為定值創造有利條件。
四、取平方
例6. 求函式的最大值。
解析：注意到的和為定值。
又，所以
當且僅當，即時取等號。
故。評注：本題將解析式兩邊平方構造出「和為定值」，為利用均值不等式創造了條件。
總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意「一正二定三相等」，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。
［練一練］
1. 若，求的最大值。
2. 求函式的最小值。
3. 求函式的最小值。
4. 已知，且，求的最小值。
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