262704 山東省壽光市壽光中學劉萬崗李懷春
定理：若,則,等號成立當且僅當a=b時取等號。
利用上述定理，當a+b為定值時，可以求ab的最大值；當ab為定值時，可求a+b的最小值。這是求二元函式最值的最方便、最迅速、最常用的方法，也是學生必須掌握的方法。但是學生易在利用定理的過程中發生錯誤，下面結合例項來剖析一下錯因。
例1、求函式的最小值。
誤解：；故最小值為2。
錯因分析：等號成立的條件是，解方程發現x無解。也就是說等號不成立。忽視了等號成立這個條件。
正解：可以利用函式的單調性來解。由，所以利用函式在上是增函式，得到函式的最小值是。
例2、a>1,0誤解： ，所以有最小值2。
錯因分析：因為a>1,0正解：，等號成立當且僅當時取等號。
例3、求函式的最大值？
誤解：，等號成立當且僅當時，取等號，且時取定值。
錯因分析：錯在不是定值。定值是不受任何因素影響的，與不等式中的變數x無關。
正解：,當且僅當時取等號。
例4、已知,a+b=3,m+n=5,求的最值。
誤解：，最小值為4。
錯因分析：要取得最小值4，必須（3）式的等號成立，成立的條件是（1）、（2）式的等號同時成立。即，顯然與給定條件矛盾，故等號不能成立。
正解：由已知條件得到：，
，，等號成立當且僅當取等號。
通過上面的例子，可以看出利用上述定理求最值，要注意三個條件：①各項都是非負；②和或積是定值；③等號能夠成立。三個條件缺一不可，否則，會出現錯誤。
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